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Equazioni di diffusione frazionarie e applicazioni

Informazioni tesi

  Autore: Emanuele Locatelli
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2007-08
  Università: Università degli Studi dell'Insubria
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Scienze e tecnologie fisiche
  Relatore: Roberto Artuso
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 48

Il comportamento collettivo di una popolazione è il risultato dell’azione dei singoli individui; in particolare, la dinamica collettiva è basata sull’entità dei singoli spostamenti, un fattore essenziale in fenomeni su ampia scala come la diffusione di epidemie a livello nazionale o continentale. Alla luce della crescita del commercio e degli spostamenti a livello internazionale la conoscenza delle proprietà statistiche e dinamiche degli spostamenti umani è di vitale importanza. L’analisi diretta è molto complessa e una stima statisticamente rilevante della dispersione su ogni scala spaziale non esiste.
Nella trattazione verranno introdotti gli strumenti matematici e i modelli fisici atti alla descrizione di un sistema che presenti grandi capacità di spostamento; si introdurrà in seguito un tecnica recente che permette di ottenere un modello per la diffusione della popolazione umana.
Il primo capitolo è dedicato al concetto di derivata frazionaria e alla sue proprietà; si introdurranno poi alcuni teoremi tauberiani, che permettono di legare il comportamento asintotico di una funzione al comportamento della sua trasformata nell’intorno dell’origine. Infine è presente una breve introduzione alle distribuzioni di Lévy e al teorema del limite centrale generalizzato, che permette di gettare un ponte fra un random walk e il fenomeno diffusivo ad esso associato.
Il secondo capitolo illustra lo schema del Continuous Time Random Walk o schema CTRW, grazie al quale è possibile descrivere cammini aleatori di carattere più generale rispetto alla trattazione classica; considerando il limite asintotico si otterranno delle equazioni differenziali frazionarie che descrivono processi super- o subdiffusivi.
Infine l’ultimo capitolo illustra il metodo innovativo accennato sopra. L’idea principale è quella di inferire le proprietà statistiche della dinamica umana analizzando la circolazione su diverse scale spaziali di singole banconote.
L’analisi mostra che la distribuzione spaziale decade a legge di potenza: questo indica che la dinamica delle banconote nasce da un random walk superdiffusivo e privo di grandezze scala noto come volo di Lévy. Inoltre la probabilità di rimanere in una piccola regione per un tempo T è dominata da una coda algebrica che attenua l’andamento superdiffusivo. La dispersione delle banconote può essere descritta con grande precisione da un modello CTRW; la dinamica risulterà essere, quindi, un processo ambivalente anche se effettivamente superdiffusivo.

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Capitolo 1 Introduzione Il comportamento collettivo di una popolazione e` il risultato dell’azione dei singoli individui; in particolare, la dinamica collettiva e` basata sull’entita` dei singoli spostamenti, un fattore essenziale in fenomeni su ampia scala come la diffusione di epidemie a livello nazionale o continentale. Alla luce della cresci- ta del commercio e degli spostamenti a livello internazionale la conoscenza delle proprieta` statistiche e dinamiche degli spostamenti umani e` di vitale importanza. Alla base dell’applicazione di un modello diffusivo sta la semplice osservazione che il singolo individuo e` indipendente da tutti gli altri, almeno agli occhi di un osservatore esterno, e i suoi movimenti sono casuali: la sua dinamica puo` essere descritta dal random walk. Esiste pero` una sostanziale differenza. Nell’usuale random walk il moto e` erratico ma, in un certo senso, regolare: la distanza coperta ∆x e il tem- po fra due passi ∆t sono fissi. Nel caso dell’essere umano la situazione e` molto diversa. L’evoluzione dei mezzi di trasporto ha permesso di poter co- prire grandi distanze in pochissimo tempo rispetto alle naturali capacita` di spostamento; inoltre, se osservata ad intervalli temporali piccoli, la dinamica umana e` caratterizzata dalla tendenza a ritornare sempre nello stesso luogo e rimanerci anche per lunghi periodi di tempo. Tale struttura si ripete oltre- tutto anche su scale temporali piu` ampie. L’analisi diretta dei movimenti umani e` quindi molto complessa e una stima statisticamente rilevante della dispersione su ogni scala spaziale non esiste. Le osservazioni fatte in precedenza evidenziano come la diffusione non pos- sa essere quella usuale: nel corso della trattazione verranno introdotti gli strumenti matematici e i modelli fisici atti alla descrizione di un sistema che presenti grandi capacita` di spostamento. Si introdurra` inoltre un tecnica recente che permette di ottenere conclusioni solide e quantitative sulla diffusione della popolazione umana. L’idea princi-

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Parole chiave

derivate frazionarie
funzione di mittag-leffler
funzioni di fox
integrali frazionari
levy
subdiffusione

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