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Il teorema di Clarke della funzione inversa

Il Teorema della funzione inversa dà condizioni sufficienti affinchè una funzione possegga un'inversa locale, cioè affinchè essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio. Il matematico Frank H. Clarke, nel tentativo di estendere questo risultato classico, pubblicò nel 1976 un articolo in cui propose una versione del Teorema della funzione inversa per applicazioni che siano solamente Lipschitziane.
Per provare il suo risultato, Clarke si servì della seguente nozione di Jacobiano generalizzato. La condizione di invertibilità locale (in x0) data da Clarke consiste nel richiedere che ogni elemento di @f(x0) abbia rango massimo.
Nel Capitolo 2, dopo aver richiamato qualche proprietà fondamentale delle funzioni Lipschitziane, si osservano alcuni fatti relativi allo Jacobiano generalizzato di una mappa Lipschitziana. Il Capitolo 3 è dedicato ad enunciare e quindi a dimostrare il Teorema di Clarke. Infine, nel Capitolo 4 abbiamo riportato tre esempi che riteniamo interessati per una comprensione approfondita dell'argomento.

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Capitolo 1 Introduzione Allo studio di una funzione spesso si affianca quello della sua inversa, se esiste. Il Teorema della funzione inversa dà condizioni sufficienti affinchè una funzione possegga un'inversa locale, cioè affinchè essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio. Teorema 1.1 (Enunciato classico) Sia Ω ⊆ Rn aperto e x0 ∈ Ω. Con- sideriamo una funzione f : Ω → Rn di classe C1 in un intorno di x0, tale che il determinante della matrice jacobiana di f in x0 sia non nullo. Al- lora esistono U e V intorni di x0 e f(x0) rispettivamente e una funzione g : V → Rn di classe C1 tale che (1) g(f(u)) = u ∀u ∈ U (2) f(g(v)) = v ∀v ∈ V Il matematico Frank H. Clarke, nel tentativo di estendere questo risultato classico, pubblicò nel 1976 un articolo in cui propose una versione del Teore- ma della funzione inversa per applicazioni che siano solamente Lipschitziane. Per provare il suo risultato, Clarke si servì della seguente nozione di Jacobiano generalizzato: ∂f(x0) = Co { lim i→∞ Jf(xi) | Jf(xi) esiste, xi → x0 } . La condizione di invertibilità locale (in x0) data da Clarke consiste nel richiedere che ogni elemento di ∂f(x0) abbia rango massimo. Com'è facile verificare, il teorema classico della funzione inversa risulta essere un caso speciale di quello enunciato da Clarke. 5

Laurea liv.I

Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Autore: Michela Benetton Contatta »

Composta da 25 pagine.

 

Questa tesi ha raggiunto 529 click dal 06/02/2009.

Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.