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Résolution de quelques EDP elliptiques linéaires et non linaires dans R^n}

Nous nous intéressons aux solutions de problèmes elliptiques de la forme:
AU = λGU + F(x,U), (1)
où λ est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire elliptique d’ordre deux, G est l’opérateur de multiplication et F est un opérateur non linéaire.
Les opérateurs A, G et F sont définis dans un espace de Hilbert réel H. Nous examinons en premier lieu, le cas où A = −Δ est l’opérateur de Laplace; G est l’opérateur de multiplication par une fonction g qui décroit assez vite à l’infini; et F ≡ 0. Cette situation confère au problème (1) une structure spectrale discrète. A cette fin, nous appliquons la théorie de Weinberger pour montrer l’existence d’un spectre discret; les valeurs propres sont caractérisées par le principe du Min-Max; de plus la première valeur propre positive (respect. négative) est principale. Si par contre F est l’opérateur non linéaire de Nemytskii défini à partir d’une fonction f(x, u) vérifiant des conditions de puissance sous critique, plusieurs voies sont envisagées.
En effet, s’il s’agit d’étudier l’existence de couples de solutions (λn, un) du problème (1), la théorie de Ljusternick-Schnirelmann s’avère bien indiquée pour l’établissement des résultats. Les valeurs propres λn et les fonctions propres un sont les solutions de l’équation
λg0 (u) − a0 (u) = 0
a0 et g0 sont les dérivées au sens de Gâteaux des fonctionnelles a et g associées au problème (1). Nous entreprenons, dans une autre direction, l’étude de l’existence des solutions positives. Pour cela, nous introduisons la méthode des itérations monotones qui consiste à construire une suite de fonctions positives dont la limite est précisément la solution du problème (1). Dans la dernière partie, A,G et F sont des opérateurs matriciels. L’existence de solutions est prouvée à l’aide d’une méthode de point fixe. Les solutions du problème (1) sont les points fixes d’une fonctionnelle non linéaire continue et compacte opérant sur un cône.

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INTRODUCTION 0.1 Introduction Historiquement, les équations aux dérivées partielles tirent leur origine de l’étude des surfaces en géométrie et pour résoudre une large variété de pro- blèmes en mécanique. Durant la seconde moitié du 19 ième siècle un grand nombre de mathématiciens s’engagent davantage à examiner de nombreux problèmes régis par les équations aux dérivés partielles. La première raison de cet engouement était que les équations aux dérivés partielles expriment plusieurs lois fondamentales de la nature et fréquemment surviennent dans l’analyse mathématique de divers problèmes. La seconde phase du dévelop- pement des équations aux dérivés partielles est caractérisée par les efforts pour établir une théorie générale et présenter différentes méthodes de ré- solutions de solutions de ces équations linéaires. En fait les équations aux dérivées partielles s’avèrent un outil essentiel pour développer la théorie des surfaces d’une part et pour rechercher les solutions de problèmes physiques d’autre part. Ces deux champs de mathématiques semblent être étroitement liés par le calcul des variations. Bien que l’origine des équations aux dérivées partielles non linéaires est très ancienne, leur développement est considérable durant la seconde moitié du 20 ième siècle. L’un des principaux moteurs du rayonnement des équations aux dérivés partielles non linéaires fut l’étude des problèmes des ondes de propagation non linéaire. Ces problèmes appa- raissent dans différents domaines des mathématiques appliquées, en physique et en ingénierie, incluant la dynamique des fluides, l’optique non linéaire, la mécanique des solides, la physique des plasma et la théorie des quanta. Notre étude expose modestement différentes méthodes pour résoudre cer- taines équations et systèmes linéaires et non linéaires. Cette diversité des moyens utilisés est étroitement liée aux contraintes imposées. Si dans le cas linéaire l’approche variationnelle est efficace, cette approche a montré ses limites dans le cas non linéaire. D’autres techniques plus élaborées sont solli- citées selon que l’étude est quantitative ou qualitative, notamment la théorie de Ljusternick- Schnirelmann, les méthodes d’itérations monotones, les mé- thodes de point fixeetlesméthodesdecomparaison. Nous allons traiter les problèmes de la forme : Au = λGu + F (x, u) , (1) où x est la variable de l’espace, λ est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire elliptique d’ordre deux, G est l’opérateur de multiplication et F est un opérateur non linéaire. Les trois opérateurs A, G et F sont définis dans un espace de Hilbert réel H. Si F est identiquement nul, nous retrouvons le cadre linéaire. Dans ce cas nous appliquons la théorie de Weinberger pour 3

International thesis/dissertation

Autore: Benouhiba Nawel Contatta »

Composta da 74 pagine.

 

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Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.

 

 

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