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Trasformata di Laplace e applicazioni

Informazioni tesi

  Autore: Massimo Borsero
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2007-08
  Università: Università degli Studi di Torino
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Scienze matematiche
  Relatore: Sandro Coriasco
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 58

Lo scopo di questa tesi è illustrare le proprietà della Trasformata di Laplace e le sue possibili applicazioni alla risoluzione di alcuni Problemi ai Valori Iniziali per modelli di tipo evolutivo, descritti da equazioni differenziali lineari, sia ordinarie, sia alle derivate parziali. La Trasformata di Laplace è infatti uno strumento con proprietà formali simili a quelle della Trasformata di Fourier, e, come quest'ultima, muta problemi differenziali in problemi algebrici ed alcuni tipi di equazioni differenziali alle derivate parziali in equazioni differenziali ordinarie: tuttavia, a differenza della Trasformata di Fourier, è utilizzabile anche in situazioni ove sono coinvolte funzioni che hanno un andamento esponenziale all'infinito.

La tesi è suddivisa in tre capitoli.
Nel primo vengono richiamate la definizione e le proprietà fondamentali delle distribuzioni. In particolare, si descrivono le operazioni di derivazione, di prodotto fra funzioni regolari e distribuzioni e di convoluzione fra distribuzioni. Inoltre, viene esaminata l'identificazione fra funzioni localmente sommabili e distribuzioni e la nozione di convergenza, e si confrontano le definizioni di supporto di funzione continua, di funzione localmente sommabile e di distribuzione. Il secondo capitolo è dedicato allo studio della Trasformata di Laplace. Particolare attenzione viene dedicata alla dimostrazione dei risultati che riguardano le trasformate delle derivate delle funzioni e delle distribuzioni L-trasformabili ed al Teorema di Inversione. Infine, nel terzo capitolo vengono esaminati vari esempi di applicazione della Trasformata di Laplace a Problemi ai Valori Iniziali per equazioni differenziali lineari ordinarie e per l'equazione del calore.

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Notazioni Nel testo sono utilizzate le seguenti notazioni: x = (x1, ..., xn) ∈ Rn Br(x0) = {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ < r}. Se x,y ∈ Rn, allora x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn |x| = (x · x)1/2 = (x21 + · · ·+ x2n)1/2. Sia X uno spazio vettoriale, e siano x e y due punti di X. Il segmento chiuso in X di estremi x e y e` l’insieme [x, y] = {z ∈ X : z = (1− t)x+ ty, 0 ≤ t ≤ 1}. Dato Z+ = {0, 1, 2, ...}, definiamo il multi-indice α come α = (α1, ..., αn) ∈ Zn+. Se α e β sono multi-indici, allora |α| = α1 + · · ·+ αn, β ≤ α⇔ βi ≤ αi ∀ i : 1 ≤ i ≤ n, α± β = (α1 ± β1, . . . , αn ± βn), (β ≤ α in α− β),( α β ) = ( α1 β1 ) · · · ( αn βn ) , (β ≤ α), ∂α = ( ∂ ∂x1 )α1 · · · ( ∂ ∂xn )αn . Se x ∈ Rn e α ∈ Zn+, allora xα = xα11 · · ·xαnn , dove, se αj = 0, conveniamo che xαjj = 1. Definiamo ora l’operatore Dα, con α ∈ Zn+ : Dα = (i)−|α| ∂α = ( 1 i ∂ ∂x1 )α1 · · · ( 1 i ∂ ∂xn )αn . iii

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Parole chiave

analisi
armonica
distribuzioni
fourier
laplace
matematica
trasformata

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