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Su di un problema di visita ottima

Informazioni tesi

  Autore: Michela Benetton
  Tipo: Laurea liv.II (specialistica)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Trento
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Fabio Bagagiolo
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 114

In questa tesi per problema di visita ottima si intende il problema di trovare il tempo minimo necessario per "visitare" m insiemi dati (che possono essere intesi come città da raggiungere). In particolare vediamo come formulare formalmente il problema di controllo ottimo, in cui emerge la necessità di introdurre un operatore di isteresi. Viene poi studiato il problema con il metodo della programmazione dinamica, dunque si fa riferimento alla teoria delle soluzioni di viscosità e lo scopo è appunto quello di caratterizzare la funzione valore del problema di controllo ottimo come unica soluzione di viscosità di un'opportuna equazione di Hamilton-Jacobi associata al problema stesso.

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Introduzione In questa tesi per problema di visita ottima si intende il seguente problema di controllo ottimo. Sono dati m insiemi chiusi e disgiunti in Rn, T1, . . . , Tm, che chiamiamo targets, ed un sistema dinamico controllato in Rn (1) { y′(t) = f(y(t), α(t)), t > 0 y(0) = x dove α : [0,+∞[→ A è una funzione misurabile denominata controllo e l'insieme dei controlli costanti A ⊂ Rk è chiuso e limitato. Assumiamo che la dinamica f : Rn×A→ Rn sia tale che, per ogni scelta del controllo α e della posizione iniziale x ∈ Rn, il problema (1) ammetta un'unica soluzione yx(t;α) definita per ogni t ∈ [0,+∞[ e che prende il nome di traiettoria. L'obiettivo è di determinare, se esiste, un controllo ottimo α∗(·) tale che la corrispondente traiettoria yx(·;α∗), uscente da uno stato iniziale x, passi per ciascuno dei targets nel minor tempo possibile. Formalmente il problema si può descrivere nel seguente modo. Definiamo anzitutto il tempo di raggiungimento a partire da un dato iniziale x con un controllo α tx(α) := inf {t ≥ 0 : ∃t1, . . . , tm ∈ [0, t] tali che yx(tj, α) ∈ Tj} , con la convenzione che inf B = +∞ se B = ∅. Siamo interessati a rendere minimo il valore di tx(α), quindi introduciamo la funzione tempo minimo T (x) := inf α∈A tx(α) con lo scopo di studiarla per trovare quel controllo α∗, se esiste, che realizza tx(α∗) = T (x). 1

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Parole chiave

controllo ottimo
equazione di hamilton-jacobi
funzione valore
hamiltoniana
operatore di isteresi
operatore play
principio della programmazione dinamica
problema di controllo ottimo
programmazione dinamica
soluzioni di viscosità
soprasoluzione
sottosoluzione
taget
tempo minimo
visita ottima

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