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Wavelets e analisi multirisoluzione

Informazioni tesi

  Autore: Cristina Narduzzi
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Udine
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Dimitri Breda
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 55

Questa tesi è una breve introduzione ad alcuni aspetti della teoria delle wavelets, che sono uno strumento piuttosto recente ma molto efficace nell'approssimazione di generiche funzioni matematiche. Prima di tutto verranno descritte dal punto di vista storico, passando poi alla loro effettiva presentazione matematica. Ci si occupa anche dell'analisi multirisoluzione, che mette in evidenza anche importanti relazioni con l'analisi dei segnali, concludendo con un assaggio delle pressoché infinite applicazioni delle wavelets.

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Capitolo 1 Cenni storici Dato un qualsiasi fenomeno naturale che evolve nel tempo (un segnale), si e` da sempre cercato di descriverlo attraverso opportuni modelli matematici. Si puo` immediatamente pensare al caso delle onde sonore. Fisicamente, il suono e` un’oscillazione compiuta da atomi e molecole in un particolare mezzo (per esempio, l’aria). Sotto l’azione di un impulso, le particelle si muovono attorno alla loro posizione di equilibrio e trasmettono questa vibrazione anche a quelle adiacenti, grazie alle proprieta` meccaniche del mezzo. L’impulso iniziale, pertanto, si propaga sotto forma di un’onda, chiamata onda sonora o acustica. Graficamente, le onde sonore vengono rappresentate nel piano cartesiano, in cui l’asse delle ascisse e` il tempo t, mentre l’asse delle ordinate e` l’ampiezza A, ossia lo spostamento della generica particella dalla sua posizione di riposo. Il caso piu` semplice e` quello dei suoni puri, il cui grafico e` un’onda sinusoidale. Allora e` immediato definire • il periodo T dell’onda, che e` la distanza tra due punti di massimo e rap- presenta l’intervallo di tempo impiegato da una particella per compiere un’oscillazione completa attorno alla sua posizione di equilibrio; • la frequenza f , ossia il numero di oscillazioni al secondo; • l’ampiezza A0, i.e. il massimo spostamento (in valore assoluto) della particella dalla posizione di equilibrio. Quindi, i suoni puri sono periodici di periodo T ; inoltre, valendo f = 1T , maggiore e` la frequenza, minore sara` il periodo. L’ampiezza, invece, dipende dall’impulso iniziale che da` origine all’onda: piu` forte e` l’impulso, maggiore risulta A0. Nota 1.1. La frequenza e` data in Hertz (Hz), dove 1 Hz = 1 oscillazione al secondo, mentre l’ampiezza si misura in Newton al metro quadrato (Nm−2). 1

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Parole chiave

analisi
approssimazione
multirisoluzione
segnale
trasformata
wavelets

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