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Modelli Affini per il Pricing di Derivati

In questo lavoro si sfruttano i processi affini per muoversi "oltre" Black-Scholes. Anche questo semplice modello è affine e quindi formule semichiuse equivalenti alle più famose formule chiuse per il pricing di opzioni possono essere ritrovate nell'ambito dei modelli affini. Inoltre, le proprietà dei processi affini possono essere utilizzate per "allentarne" le restrittive ipotesi alla base. In questa tesi ci si pone sotto l'ipotesi di tasso d'interesse stocastico, ottenendo formule di pricing semichiuse per opzioni in modelli affini bivariati, con rischio di stock e rischio di tasso. In particolare, sono stati considerati due modelli: il VASBS ed il CIRBS. Il primo assume che il tasso d'interesse evolva secondo un processo stocastico di Ornstein-Uhlenbeck, ovvero che lo short rate segua la dinamica descritta dal modello di Vasicek; il secondo, assume una dinamica di tipo mean reverting square root, analoga alla dinamica dello short rate nel modello CIR. Viene dimostrato che il modello VASBS è un processo affine, mentre il CIRBS è affine soltanto nel caso particolare di correlazione nulla tra i processi di stock e di tasso. Poi, sfruttando le proprietà dei processi affini, viene calcolata la soluzione affine della funzione caratteristica associata a ciascun processo, la quale ci permette di giungere ad una formula semichiusa per la valutazione di opzioni. Questo è stato fatto soltanto per il VASBS, in quanto il CIRBS affine in un "caso fortunato" ed è stato scelto di utilizzare questo modello soltanto per il pricing tramite simulazione Monte Carlo. Queste formule sono molto `comode' da un punto di vista di implementazione: grazie ad algoritmi numerici, come quello di Gauss-Kronrod utilizzato dalla function quadgk di Matlab, si riescono ad approssimare integrali infiniti, e quindi a calcolare numericamente formule semichiuse, in una frazione di secondo.
Nel capitolo 1 vengono affrontati alcuni concetti generali, come la misurazione della struttura per scadenza, realizzata sia tramite procedure di bootstrap sia tramite la stima di un modello: in particolare viene considerata la famiglia di Nelson-Siegel, la cui calibratura è realizzata tramite inversione della yield curve e partendo direttamente dai tassi swap.
Nel capitolo 2, partendo dalla definizione di processo di Wiener, viene ricavato il Lemma di Ito (in una ed in più dimensioni). Viene poi affrontato il moto browniano geometrico, sia da un punto di vista teorico che pratico: tramite la decomposizione di Cholesky, passando per la variabile aleatoria normale bivariata, viene simulato un moto browniano geometrico bivariato, mostrando gli effetti di diversi valori della correlazione. Viene poi presentato il modello di Black-Scholes.
Nel capitolo 3 vengono affrontati alcuni modelli univariati per lo short rate, sia a struttura a termine endogena (CIR e Vasicek) che a struttura a termine esogena (Hull-White). Viene dimostrato come questi modelli siano strutture a termine affini. Vengono poi affrontate nel dettaglio alcune procedure di calibratura: per i modelli CIR e Vasicek la metodologia è identica a quella del modello di Nelson-Siegel (inversione della yield curve e calibratura da tassi swap). Per il modello di Hull-White si parte invece da caps e floors, invertendo la formula di Black e individuando, tramite una procedura di minimizzazione, i parametri ottimi che minimizzano le di preferenze mercato-modello.
Il capitolo 4 e il "cuore" di questo lavoro: data la definizione di processo affine, si affrontano i modelli univariati incontrati fino ad ora (Black-Scholes, Vasicek, CIR e Hull-White) dal punto di vista dei processi affini. In particolare, il modello di Black-Scholes si dimostra essere affine sia tramite il calcolo diretto della funzione generatrice dei momenti che tramite un "approccio martingala". Viene inoltre mostrata la relazione tra processi di tasso affini (caso generale) e strutture a termine affini (caso particolare). Il passo successivo è quello dei processi affini bivariati: VASBS e CIRBS. Viene poi mostrato come recuperare la soluzione affine della trasformata di Laplace associata ai processi di tasso univariati partendo da quella dei modelli bivariati. In fine, le formule chiuse ottenute vengono testate tramite una simulazione Monte Carlo.

Il capitolo 5 affronta il problema del pricing nei modelli affini: si ottengono formule semichiuse per opzioni call e forward start in Black-Scholes ed in VASBS e le si testano tramite procedure numeriche. Viene inoltre svolto un confronto tra pricing in ambiente VASBS e CIRBS (tramite simulazione Monte Carlo).

L'appendice si divide in due parti: l'appendice A contiene tutti i codici Matlab utilizzati in questo lavoro ed alcuni utili script. L'appendice B, teorica, riporta il teorema di Fubini ed una dimostrazione della legge delle aspettative condizionate iterate.

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Introduzione Il Chicago Board Options Exchange, che diede il via alla negoziazione di opzioni negli USA, fu aperto nel 1973. Nello stesso anno fu pubblicato l’articolo contenente la famosa ‘formula di Black-Scholes’. Essa, nonostante sottintendesse nozioni di matematica avan- zata e di calcolo delle probabilit a, concetti che sfuggivano ai ‘cultori’ di nanza dell’epoca, sia pratici che accademici, fu velocemente assorbita dal mercato. Le motivazioni del suo successo aondavano le radici nel fatto che il prezzo di un’opzione scritta su azione veniva a dipendere soltanto da grandezze oggettive osservabili sul mercato, come la volatilit a, il tasso d’interesse e la quotazione del sottostante. Pochi anni pi u tardi la Texas Instrument produsse una calcolatrice portatile che consentiva di calcolare in una frazione di secondo, applicando tale formula, il prezzo di non arbitraggio dell’opzione. Questa innovazione tecnologica fu come un ponte che un teoria e pratica di mercato. Il risultato fu una vera esplosione nelle transazioni nanziarie in generale ed in quelle di derivati in particolare. La Banca dei Regolamenti Internazionali pubblica periodicamente statistiche sui valori nozionali e di mercato dell’attivit a in derivati svolta dalle grandi banche internazionali, al di fuori dei mercati regolamentati. Il volume delle negoziazioni viene espresso in termine di capitale nozionale, che rappresenta il parametro per il calcolo dei ussi di pagamen- to. Osservando queste statistiche notiamo, nel triennio 2007 - 2010, una fase di estrema crescita nello scambio di derivati over-the-counter (OTC). Tale andamento ha raggiunto l’apice nella prima met a del 2008 per poi decrescere, con un declino che ha riguardato i derivati collegati a tutti i tipi di rischio e sicuramente dovuto in gran parte alla compres- sione degli scambi nanziari avvenuta a livello globale nella seconda met a del 2008 a causa della crisi nanziaria. Il collasso nell’immediato post-crisi e stato per o compensato da un nuovo aumento avvenuto tra ne 2009 ed inizio 2010. Nonostante il declino post-crisi, le negoziazioni complessive degli strumenti derivati OTC sono aumentate negli ultimi 4 anni: gli scambi aggregati a livello mondiale di questi strumenti hanno raggiungo 583000 miliardi di dollari a ne giugno 2010, circa il 15% in pi u rispetto ai livelli registrati nel 2007. Ci o corrisponde ad un tasso di crescita annuo del 5%, basso se comparato al 32% del periodo 2004 - 2007 e al 20% del periodo 1995 - 2007, notevole se guardiamo al fatto che siamo comunque a livelli superiori rispetto a quelli pre-crisi. L’economia mondiale riconosce pertanto ancora una grande rilevanza agli strumenti derivati, sia come stru- mento di hedging che di speculazione. Certo e che dal lontano 1973 la teoria nanziaria e evoluta enormemente. Il modello di Black-Scholes rimane un buon punto di partenza per l’analisi nanziaria e quantitativa, ma le ipotesi alla base, notevolmente rigide, ne precludono una reale utilizzabilit a pratica. Lo sforzo, negli ultimi decenni, e stato quello di muoversi ‘oltre’ Black-Scholes: per convincersene basta notare quanti siano i libri e gli articoli in letteratura che contengano, nel titolo, le parole chiave ‘beyond Black-Scholes’. I modelli ani consentono di andare in questa direzione. La classe dei processi ani e utilizzata in nanza da decenni. Le prime applicazioni 15

Laurea liv.II (specialistica)

Facoltà: Economia

Autore: Davide Maria Liguori Contatta »

Composta da 178 pagine.

 

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