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Cubiche singolari e non singolari

Informazioni tesi

  Autore: Michela Egidi
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Bologna
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Scienze matematiche
  Relatore: Monica Idà
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 54

In questa tesi si è interessati alla classificazione delle cubiche del piano proiettivo complesso, cioè di curve algebriche proiettive rappresentate da polinomi omogenei di grado 3 a coefficienti nel campo complesso. Si mostra inoltre che le cubiche piane singolari irriducibili, cioè quelle per cui esiste esattamente un punto da cui esce più di una tangente alla cubica, si possono ottenere come proiezioni piane della cubica gobba dello spazio proiettivo complesso.
Si mostrerà che per le cubiche non singolari o liscie del piano proiettivo complesso, cioè quelle tali che in ogni punto la tangente è unica, esiste sempre una proiettività che le riconduce ad una cubica rappresentata da un polinomio contenente un parametro che varia nel campo complesso con la sola limitazione di non poter assumere i valori 0 oppure 1.
Si mostrerà poi che su questo tipo di cubiche si può definire una struttura di gruppo abeliano tramite un’operazione di somma definita in modo puramente geometrico.
Invece, le cubiche singolari irriducibili si possono ricondurre a due classi di equivalenza proiettive che raggruppano rispettivamente le cubiche con un nodo e le cubiche con una cuspide.
Si mostrerà inoltre che le cubiche singolari sono curve razionali. La cubica gobba dello spazio proiettivo complesso è una cubica non contenuta in un piano che può essere espressa in forma parametrica. Focalizzando l’attenzione sulle sue proiezioni piane, si distingueranno quelle di centro un punto della cubica e quelle di centro un punto fuori di essa. L’idea fondamentale è che non si ottiene mai una cubica singolare liscia perchè non esiste una parametrizzazione razionale di quest’ultima, mentre la conica non degenere, la cubica singolare e la cubica gobba sono curve razionali.

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Introduzione Classificare un insieme di curve immerse in un certo spazio (euclideo, af- fine o proiettivo, ...) significa determinare classi di curve equivalenti, cio` e insiemi di curve che hanno la propriet` a di poter essere trasformate le une nelle altre per mezzo di opportune trasformazioni dello spazio ambiente (iso- metrie, affinit` a, proiettivit` a o altre applicazioni dipendenti dall’ambiente di lavoro). Inquestatesisi` einteressatiallaclassificazionedellecubichedelpianoproiet- tivo complesso, cio` e di curve algebriche proiettive rappresentate da polinomi omogeneidigrado3acoefficientinelcampocomplesso. Simostrainoltreche le cubiche piane singolari irriducibili, cio` e quelle per cui esiste esattamente un punto da cui esce pi` u di una tangente alla cubica, si possono ottenere come proiezioni piane della cubica gobba dello spazio proiettivo complesso. Dopo aver richiamato concetti fondamentali che ricorreranno spesso nella trattazione, si potr` a iniziare lo studio vero e proprio delle cubiche. Si mo- strer` a che per le cubiche non singolari o liscie del piano proiettivo complesso, cio` e quelle tali che in ogni punto la tangente ` e unica, esiste sempre una proiettivit` a che le riconduce ad una cubica rappresentata da un polinomio contenenteunparametrochevarianelcampocomplessoconlasolalimitazio- ne di non poter assumere i valori 0 oppure 1. Sar` a proprio questo parametro che porter` a alla dimostrazione che esistono infinite classi di equivalenza proi- ettivaperlecubichepianenonsingolari, adifferenzadiquantoavvieneperle curve proiettive di grado 2 o 1. Si mostrer` a poi che su questo tipo di cubiche si pu` o definire una struttura di gruppo abeliano tramite un’operazione di 3

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Parole chiave

classificazione
proiezioni
geometria proiettiva
cubiche singolari
cubiche non singolari
cubica gobba

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