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Sul punto critico della configurazione lineare di sfere nelle spazio euclideo tridimensionale

Informazioni tesi

  Autore: Elisa Audisio
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 1999-00
  Università: Università degli Studi di Torino
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Pier Mario Gandini
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 95

I packing di sfere sono uno dei più affascinanti e stimolanti argomenti in matematica. Quasi quattro secoli fa Keplero studiò la densità dei packing di sfere e fece la sua famosa congettura. Alcuni decenni più tardi Gregory e Newton discussero il problema riguardante il numero massimo di sfere aventi lo stesso raggio che potevano toccarne una data e proposero quello noto come il problema della tredicesima sfera.
Da allora questi problemi ed altri ad essi connessi attirarono l’attenzione di numerosi importanti matematici, quali ad esempio Blichfeldt, Gauss, Lagrange, Minkowski, Thue, solo per citarne alcuni.
Nel corso dei secoli molti interessanti risultati sono stati ottenuti grazie a metodi ingegnosi e nuovi quesiti sono stati proposti. Così, benché molti dei problemi originari siano ancora aperti, i packing di sfere costituiscono un importante capitolo della matematica.
Sono stati inoltre trovati sorprendenti collegamenti tra teoria dei packing e altre branche della matematica, quali ad esempio teoria dei numeri, teoria dei gruppi e forme quadratiche. Nello spazio euclideo tridimensionale esiste inoltre una analogia diretta con la struttura atomica della materia, in particolare con la cristallografia, mentre in dimensione maggiore i packing di sfere sono di centrale interesse nella teoria dei codici.
Packing di sfere sono stati studiati in spazi di ogni tipo e dimensione, ma nella presente concentreremo la nostra attenzione su risultati ottenuti nello spazio euclideo tridimensionale.
Ripercorreremo quelli che sono stati gli sviluppi storici della teoria dei packing infiniti a partire dalla congettura di Keplero e dal problema di Gregory-Newton fino ai giorni nostri. Introdurremo poi il concetto di densità di un packing e ne daremo alcuni fondamentali limiti inferiori e superiori.
Ci occuperemo in seguito dei packing finiti; dopo aver adattato a questi la definizione di densità parleremo della famosa congettura di L. Fejes Tóth, nota come “congettura della salsiccia” e accenneremo poi a quanto avviene in spazi a tre e quattro dimensioni. Daremo inoltre alcune notizie riguardanti l’applicazione della teoria dei packing in cristallografia.
Nella parte centrale della tesi tratteremo nei dettagli il caso tridimensionale, mostreremo che il punto critico della configurazione lineare è k circa 56 e precisamente faremo prima vedere che per k=56 esiste una configurazione migliore di quella lineare e dimostreremo poi che per k>56, tranne che per k=57, la configurazione lineare non è ottimale.

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1 Prefazione I packing di sfere sono uno dei più affascinanti e stimolanti argomenti in matematica. Quasi quattro secoli fa Keplero studiò la densità dei packing di sfere e fece la sua famosa congettura. Alcuni decenni più tardi Gregory e Newton discussero il problema riguardante il numero massimo di sfere aventi lo stesso raggio che potevano toccarne una data e proposero quello noto come il problema della tredicesima sfera. Da allora questi problemi ed altri ad essi connessi attirarono l’attenzione di numerosi importanti matematici, quali ad esempio Blichfeldt, Gauss, Lagrange, Minkowski, Thue, solo per citarne alcuni. Nel corso dei secoli molti interessanti risultati sono stati ottenuti grazie a metodi ingegnosi e nuovi quesiti sono stati proposti. Così, benché molti dei problemi originari siano ancora aperti, i packing di sfere costituiscono un importante capitolo della matematica. Sono stati inoltre trovati sorprendenti collegamenti tra teoria dei packing e altre branche della matematica, quali ad esempio teoria dei numeri, teoria dei gruppi e forme quadratiche. Nello spazio euclideo tridimensionale esiste inoltre una analogia diretta con la struttura atomica della materia, in particolare con la cristallografia, mentre in dimensione maggiore i packing di sfere sono di centrale interesse nella teoria dei codici.

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Parole chiave

sfera
geometria
configurazione lineare di sfere
congettura della salsiccia
tetraedro troncato
impacchettamento di sfere
sphere packing
congettura di keplero

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