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Processi di diffusione epidemici su grafi aleatori

Informazioni tesi

  Autore: Daniele Ottaviani
  Tipo: Laurea liv.II (specialistica)
  Anno: 2011-12
  Università: Università degli Studi di Roma La Sapienza
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Giovanna Nappo
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 95

Molti fenomeni sulla Rete o su un qualunque network possono essere modellizzati in maniera aleatoria da un apposito processo stocastico opportunatamente adattato al grafo che rappresenta il sistema stesso.
Scopo del mio lavoro è quello di analizzare l'evoluzione di un fenomeno epidemico, come ad esempio la diffusione di un virus informatico, tenendo conto della struttura aleatoria del network preso in considerazione.
Nella tesi cerco delle condizioni sufficienti affinché si possa prevedere il tempo medio di estinzione del fenomeno su diversi tipi di grafi aleatori, tra cui il grafo a legge di potenza, importantissimo in questo campo (modellizza bene diversi tipi di sistemi, tra cui anche il grafo di Internet a livello dei suoi sistemi autonomi). Ovviamente tutti i risultati sono esposti nella maniera più generale possibile, al fine di rendere utile il lavoro anche in altri campi; ad esempio esso si presta bene al perfezionamento di molti modelli già esistenti, come i modelli di Bass per la previsione dell'andamento di nuove tecnologie nel mercato, o i modelli ETAS di Ogata, che descrivono l'evoluzione degli sciami sismici a seguito di un violento terremoto.
Infine, nell'appendice è riportata un'analisi della tecnica del Coupling, molto utile per stabilire ordinamenti stocastici tra variabili aleatorie.

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Introduzione Il lavoro svolto in questa tesi riguarda lo studio di un fenomeno diusivo di tipo epidemico che coinvolge un numero nito di singoli individui. In un fenomeno di questo tipo, lo stato di un individuo pu o passare da \o"(sano) a \on"(infetto) attraverso l’interazione con uno degli altri individui con cui esso e in contatto. L’approccio utilizzato e quello probabilistico. Inoltre cia- scun individuo infetto ha una probabilit a nita di tornare sano in un tempo successivo, potendo cos essere di nuovo infettato. Tale modello in ambito epidemico e noto con il nome di SIS (Suscettibile - Infetto - Suscettibile). Osserviamo che questo tipo di fenomeni riguarda diversi campi, come ad esempio quello medico, informatico, economico e sociale. Infatti la diusione pu o interessare oggetti tra i pi u vari, come virus, sia di tipo biologico che informatico, beni di consumo o idee. Il modello probabilistico adottato e un processo di Markov a tempo continuo con spazio degli stati nito apparte- nente alla classe dei processi di nascita e morte. Molti dei modelli utilizzati in ambito epidemico non considerano l’aspetto topologico riguardante i contatti che un singolo individuo pu o avere con gli altri. E intuitivo che un modello che tenga conto di questa topologia sia pi u informativo e possa fornire risultati pi u attendibili e accurati. Il contatto di ciascun individuo coi rimanenti e qui modellizzato attraverso gli archi di un grafo non orientato di tipo aleatorio. Al contrario di un grafo deterministico, in uno aleatorio ciascun arco pu o essere presente con una certa probabilit a dipendente dal modello scelto. Sono state considerate due classi di gra alea- I

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