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Rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico

Informazioni tesi

  Autore: Teresa Farruggia
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2005-06
  Università: Università degli Studi di Palermo
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica per l'informatica e il calcolo scientifico
  Relatore: Giovanni Riela
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 50

In questa tesi ho esaminato un aspetto della teoria delle rappresentazioni, studiando alcuni risultati fondamentali per il gruppo simmetrico Sn. Lo scopo principale è stato quello di trovare, a meno di isomorfismi, tutte le rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico. Partendo dal presupposto che il numero delle rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico Sn è uguale al numero delle partizioni dell’intero n, ho costruito un modulo Sλ, detto modulo di Specht, in corrispondenza di ogni partizione λ di n. Tali moduli Sλ formano un insieme completo di Sn-moduli irriducibili sul campo complesso ed hanno basi corrispondenti ai tableaux standard di forma λ. Ho suddiviso il tutto in due capitoli, nel primo ho mostrato a caratteri generali le rappresentazioni di un qualsiasi gruppo finito G, mentre nel secondo ho affrontato più specificatamente l’argomento. Il primo capitolo contiene quattro paragrafi: il primo paragrafo tratta delle rappresentazioni di un gruppo G in termini di matrici, nel secondo ho definito una rappresentazione in termini di G-modulo, dimostrando l’equivalenza tra le due definizioni di rappresentazione di G, il terzo esamina la riducibilità di un G-modulo ed infine nel quarto ho dato la nozione di completa riducibilità e con il “Teorema di Maschke” ho dimostrato che ogni rappresentazione di un gruppo finito sul campo complesso di dimensione positiva è completamente riducibile. Il secondo capitolo è suddiviso in sei paragrafi: il primo tratta di diagrammi di Young e tableaux, nel secondo ho definito l’azione di Sn sui tableaux, il terzo introduce i moduli di Specht Sλ; nel quarto ho dato un risultato essenziale che va sotto il nome di “Teorema del sottomodulo”, mediante il quale ho mostrato che i moduli Sλ costituiscono un insieme completo di moduli irriducibili, il quinto tratta di tableaux standard che possono essere usati per indicizzare una base per Sλ, infine nel sesto paragrafo ho costruito gli elementi di Garnir, utilizzati per portare un qualunque tableau in forma standard.

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1 Capitolo 1 Rappresentazioni di Gruppi Questo capitolo è dedicato allo studio delle rappresentazioni di gruppi, delle quali darò alcuni risultati generali. Durante tutta la trattazione suppongo che G sia un gruppo finito scritto moltiplicativamente con l’identità ε e che V sia uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi di dimensione finita. 1.1 Rappresentazioni matriciali Una rappresentazione matriciale può essere pensata come un modo per modellare un gruppo astratto con un gruppo concreto di matrici. Dopo aver dato la definizione precisa, darò qualche esempio. Denoto con C i numeri complessi, e sia Mat d l’insieme di tutte le matrici d × d ad elementi in C che è l’algebra matriciale complessa completa di grado d (in altre parole, uno spazio vettoriale dotato di una moltiplicazione di vettori associativa). Il gruppo lineare generale complesso di grado d, denotato con GL d , è il gruppo di tutte le matrici X = (x i, j ) d × d  Mat d invertibili rispetto alla moltiplicazione. Definizione 1.1.1 Una rappresentazione matriciale di un gruppo G è un omomorfismo di gruppi X : G → GL d Equivalentemente, ad ogni g  G è assegnato X (g)  Mat d tale che 1. X (ε) = I la matrice identica, e 2. X (g h) = X (g)X (h) per ogni g, h  G.

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Parole chiave

rappresentazioni
riducibilità
gruppo simmetrico
rappresentazioni irriducibili
teorema di maschke
diagramma di young
moduli di specht
tableaux standard
g-moduli
algebra gruppale

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