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Una storia dei numeri trascendenti

Storia delle ricerche e dello sviluppo delle conoscenze sui numeri trascendenti. Il periodo considerato va dalla matematica egizia e babilonese ai tempi nostri, con particolare approfondimento sui secoli XVIII e XIX, dove si sono posti correttamente i termini del problema della natura dei numeri trascendenti e si è giunti ad una dimostrazione della loro esistenza, nonché alla verifica della trascendenza di alcune particolari costanti e alla soluzione del problema della quadratura del cerchio. La trattazione di Cantor ha aperto la strada a nuovi e inaspettati sviluppi. Oggi, lo studio sulla materia è particolarmente interessante per quanto riguarda alcuni metodi crittografici.

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3 INTRODUZIONE Quello di trascendenza è un concetto matematico elementare del quale, come studenti, s'inizia a scoprire qualcosa già a livello di scuola media superiore. In generale, si può affermare che sono indicati come trascendenti tutti gli oggetti (funzioni, numeri, curve, ecc.) ai quali non si può accedere impiegando solo le quattro operazioni, e quindi, ad esempio, tramite espressioni polinomiali o equazioni algebriche. In particolare, si dicono trascendenti i numeri, reali o complessi, che non siano radici di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi del tipo ax a x a x a n n n n n n 1 1 2 2 0 0K . Si può facilmente verificare che è possibile riformulare in modo equivalente questa definizione sostituendo a “interi” il termine “razionali” 1 . I numeri che non sono trascendenti, ossia che costituiscano una soluzione di un’equazione del tipo suddetto, si chiamano algebrici. Ovviamente, un qualunque numero reale non può che essere algebrico o trascendente, quindi con questa definizione il campo dei numeri reali viene ad essere ripartito in due sottoclassi, esattamente come avviene con la distinzione tra razionali ed irrazionali. La distinzione tra algebrici e trascendenti è però applicabile anche al campo complesso, ed ha quindi una valenza più ampia. Ad esempio il numero i è algebrico, perché radice dell’equazione x 2 10 , mentre il numero 1 1 l i ! φ ƒ , dove l è un intero complesso, vale a dire del tipo n im , con n e m interi, è trascendente 2 . Tutti i numeri razionali del tipo m n sono banalmente algebrici (in quanto soluzioni dell’equazione di primo grado a coefficienti interi nx m 0) e 1 Basta considerare che se tutti i coefficienti sono razionali, esprimendoli come frazioni e poi moltiplicando l’intera equazione per il minimo comune denominatore si ottiene un’equazione a coefficienti interi. 2 In effetti, tale numero è trascendente anche secondo una definizione di trascendenza più forte rispetto a quello da noi indicata, tutta interna al campo complesso; si veda a pag. 38 e in Appendice 2.

Tesi di Laurea

Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Autore: Leonardo Lotti Contatta »

Composta da 94 pagine.

 

Questa tesi ha raggiunto 5063 click dal 20/03/2004.

 

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Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.