Analisi delle perfomance strutturali di compositi con fasi auxetiche

11 
 
CAPITOLO I 
 
MATERIALI ANISOTROPI 
 
1.1. Teoria lineare dell’elasticità per materiali elastici lineari anisotropi 
Un materiale elastico lineare anisotropo, come noto, può avere al più 21 costanti 
elastiche indipendenti. Questo numero può essere opportunamente ridotto quando il 
materiale in esame possiede determinate simmetrie. Inoltre in molti casi, esso può essere 
ulteriormente ridotto quando si considerano deformazioni bidimensionali. E‟ opportuno 
ricordare che la matrice delle costanti elastiche deve essere definita positiva, poiché 
l‟energia di deformazione è positiva. 
Con riferimento ad un sistema di coordinate ortogonali 
1 2 3
,, e e e , siano T ed E campi 
di tensione e di deformazione, rispettivamente, per un materiale iper-elastico anisotropo. 
La relazione tensione-deformazione può essere scritta nella seguente forma, nota come 
legge di Hooke: 
: = T C E :                                                                                                                      (1.1) 
o, in componenti: 
ij ijhk hk
C                                                                                                                   (1.2) 
in cui C è il tensore delle rigidezze elastiche del quarto ordine, e, per l‟ipotesi di iper-
elasticità, le componenti 
ijhk
C soddisfano la seguente proprietà di simmetria maggiore: 
ijhk jihk hkij
C C C  .                                                                                                       (1.3) 
L‟equazione (1.3) dà luogo alle seguenti equazioni: 
ijhk jihk ijkh jikh
C C C C                                                                                                (1.4) 
ijhk hkij
CC                                                                                                                     (1.5)
12 
 
La (1.4) segue direttamente dalla simmetria dei tensori di tensione e di deformazione, 
mentre la (1.5) è dovuta all‟ipotesi di esistenza di un potenziale elastico  . In altre 
parole, l‟energia di deformazione  per unità di volume del materiale, data da: 
0
ij ij
d

   

                                                                                                                (1.6) 
è indipendente dal percorso di carico, ad esempio il percorso che 
ij
 segue da 0 ad  , 
mentre dipende solo dal valore finale di  . 
In elasticità lineare la (1.6) può essere scritta come: 
11
22
ij ij ijhk ij hk
C                                                                                                    (1.7) 
e poiché l‟energia di deformazione deve essere positiva, deve risultare: 
0
ijhk ij hk
C                                                                                                                  (1.8) 
per ogni tensore simmetrico reale e non nullo 
ij
 . 
Quindi, come detto precedentemente, il tensore delle rigidezze C è definito positivo. 
Analogamente, invertendo la (1.1), la relazione tensione-deformazione può essere scritta 
nella forma seguente: 
: = E D T :                                                                                                                     (1.9) 
o, in componenti: 
ij ijhk hk
D                                                                                                                 (1.10) 
in cui D è il tensore delle cedevolezze elastiche del quarto ordine, e, per l‟ipotesi di iper-
elasticità, le componenti 
ijhk
D soddisfano la seguente proprietà di simmetria maggiore: 
ijhk jihk hkij
D D D  .                                                                                                    (1.11) 
L‟equazione (1.11) dà luogo alle seguenti equazioni: 
ijhk jihk ijkh jikh
D D D D                                                                                             (1.12)
13 
 
ijhk hkij
DD                                                                                                                   (1.13) 
La (1.12) segue direttamente dalla simmetria dei tensori di tensione e di deformazione, 
mentre la (1.13) è dovuta all‟ipotesi di esistenza di un potenziale elastico 
complementare  . In altre parole, l‟energia di tensione  per unità di volume del 
materiale, data da: 
0
ij ij
d

   

                                                                                                             (1.14) 
è indipendente dal percorso di carico, ad esempio il percorso che 
ij
 segue da 0 ad  , 
mentre dipende solo dal valore finale di  . 
In elasticità lineare la (1.14) può essere scritta come: 
11
22
ij ij ijhk ij hk
D                                                                                               (1.15) 
e poiché l‟energia di tensione deve essere positiva, deve risultare: 
0
ijhk ij hk
D                                                                                                              (1.16) 
per ogni tensore simmetrico reale e non nullo 
ij
 . 
Quindi, come detto precedentemente, il tensore delle rigidezze D è definito positivo. 
Viene introdotta ora la notazione contratta tale che: 
11 1 22 2 33 3
32 4 31 5 12 6
11 1 22 2 33 3
32 4 31 5 12 6
, , ,
, , ,
, , ,
2 , 2 , 2 ,
     
     
     
     
  
  
  
  
                                                                            (1.17) 
Le leggi tensione-deformazione (1.2) e (1. 10) possono essere scritte rispettivamente 
come: 
, C C C
      
                                                                                           (1.18) 
 
, D D D
      
                                                                                           (1.19)
14 
 
L‟equazione (1.18) può essere espressa in forma matriciale come segue: 
:,
T
 T C E C C .                                                                                                (1.20) 
I tensori di tensione e di deformazione, T ed E, sono espressi in forma di vettore 
colonna 6x1, mentre il tensore delle rigidezze C è espresso in forma di matrice 
simmetrica 6x6, come mostrato nella seguente equazione: 
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
44 45 46
55 56
66
C C C C C C
C C C C C
C C C C
C C C
Sym C C
C











C                                                                    (1.21) 
dove la trasformazione tra 
ijhk
C e C

 è condotta sostituendo i pedici ij (o hk) con  o 
 , usando la seguente regola: 
( ) ( )
11 1
22 2
33 3
32 23 4
31 13 5
12 21 6
ij o hk o
o
o
o
 






                                                                                                (1.22) 
La trasformazione (1.22) può essere scritta come:  
9
9
i sei j
i j sei j
h se h k
h k se h k


 


  

 


  

                                                                                         (1.23) 
Analogamente, con riferimento all‟equazione (1.17), la legge tensione-deformazione 
(1.19) può essere espressa in forma matriciale come segue: 
:,
T
 E D T D D                                                                                                (1.24)
15 
 
dove anche il tensore delle cedevolezze D è espresso in forma di matrice simmetrica 
6x6, come mostrato nella seguente equazione: 
11 12 13 14 15 16
22 23 24 25 26
33 34 35 36
44 45 46
55 56
66
D D D D D D
D D D D D
D D D D
D D D
Sym D D
D











D                                                                  (1.25) 
La trasformazione tra 
ijhk
D e D

 è simile a quella tra 
ijhk
C e C

 eccetto che per quanto 
segue: 
,3
23
4 , 3
ijhk
ijhk
ijhk
D D se
D D se or
D D se









                                                                               (1.26) 
Dalla (1.20) e (1.24), si ottiene la seguente espressione per l‟energia di deformazione: 
1 1 1
2 2 2
   
T T T
E CE T E T DT                                                                              (1.27) 
e, poiché  è definito positivo, segue che: 
>0
>0
T
T
E CE
T DT
                                                                                                                  (1.28) 
Questo implica che le matrici C e D sono entrambe definite positive. Inoltre la 
sostituzione della (1.24) nella (1.20) produce: 
 CD I DC ==                                                                                                              (1.29) 
dove la seconda eguaglianza segue dalla prima che afferma che C e D sono una 
l‟inversa dell‟altra e ,quindi, il loro prodotto è commutativo. 
Per un materiale elastico lineare anisotropo, come anticipato precedentemente, le 
matrici C e D hanno 21 costanti elastiche indipendenti. Questo numero può essere 
ridotto quando si considerano deformazioni bidimensionali.
16 
 
Si assume che lo stato di deformazione per il corpo anisotropo esaminato sia piano tale 
che risulti 
3
0   . Quando 
3
0   , la legge tensione-deformazione data dalla prima 
delle (1.18) diviene: 
3
1,2,3,....,6 1,2,....,6 C
   

   

  

                                                 (1.30) 
Ignorando l‟equazione per 
3
 , la (1.30) può essere scritta come: 
ˆ ˆ ˆ ˆˆ
T
T = CE C = C                                                                                            
(1.31) 
dove: 
 
 
ˆ
, , , ,
T
1 2 4 5 6
=      T                                                                                         (1.32) 
 
 
ˆ
, , , ,
T
1 2 4 5 6
=      E                                                                                            (1.33) 
e: 
11 12 14 15 16
22 24 25 26
44 45 46
55 56
66
ˆ
C C C C C
C C C C
C C C
Sym C C
C



 




C                                                                             (1.34) 
Poiché 
ˆ
C è stata ottenuta da C attraverso l‟eliminazione di tre righe e tre colonne, 
ˆ
C è 
una sottomatrice principale di C ed è anch‟essa definita positiva. Essa contiene 15 
costanti elastiche indipendenti. 
La legge tensione-deformazione (1.19) per 
3
0   è: 
33
0 D

                                                                                                            (1.35) 
Risolvendola per 
3
 , si ottiene: 
33
3
33
1
D
D






                                                                                                 (1.36)
17 
 
e sostituendo la (1.36) nella prima equazione delle (1.19), si ottiene: 
3
' D
   





                                                                                                          (1.37) 
con  
33
33
''
DD
D D D
D

   
                                                                                       (1.38) 
dove ' D

 rappresenta le cedevolezze elastiche ridotte. 
E‟ inoltre chiaro che: 
33
' 0, ' 0 , 1,2,....,6 DD

                                                                      (1.39) 
Per questa ragione non è necessario escludere 3   dalla (1.37). 
Usando la notazione della (1.32) e della (1.33), la (1.37) può essere scritta nella forma 
seguente: 
ˆˆ
T
= ' ' ' E D T D = D vv                                                                                           (1.40) 
dove ' Dv può essere definito come tensore delle cedevolezze elastiche ridotto che ha la 
seguente forma matriciale simmetrica: 
11 12 14 15 16
22 24 25 26
44 45 46
55 56
66
' ' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
''
'
D D D D D
D D D D
D D D
Sym D D
D



 




D                                                                    (1.41) 
Come 
ˆ
C , ' Dv contiene 15 costanti elastiche indipendenti. Inoltre la sostituzione della 
(1.40) nella (1.31) produce: 
ˆˆ
 CD' I D'C ==                                                                                                           (1.42) 
dove la seconda eguaglianza segue dalla prima che afferma che 
ˆ
C e ' Dv sono una 
l‟inversa dell‟altra e ,quindi, il loro prodotto è commutativo. Questo risultato è 
indipendente dal fatto che risulti o meno 
3
0   , poiché rappresenta una proprietà delle
18 
 
costanti elastiche. Bisogna sottolineare che la definitezza positiva di 
ˆ
C implica che 
anche ' Dv sia definito positivo. 
Un‟ulteriore dimostrazione che 
ˆ
C e ' Dv sono definiti positivi si può ottenere scrivendo 
l‟energia di deformazione come: 
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
'
2 2 2
   
T T T
E CE T E T D T                                                                             (1.43) 
e considerando che  deve essere positiva per ogni 
ˆ
T ed 
ˆ
E non nulli, deve essere: 
ˆ ˆˆ
ˆˆ
'
>0
>0
T
T
E CE
T D T
                                                                                                                 (1.44) 
 
1.2. Simmetrie Materiali 
Come anticipato precedentemente, il numero delle costanti elastiche indipendenti delle 
matrici 6x6 C ed S può essere opportunamente ridotto, anche quando il materiale 
anisotropo esaminato possiede determinate simmetrie. 
Quindi, con riferimento ad un nuovo sistema di coordinate cartesiane 
1 2 3
,,
  
e e e , 
ottenuto attraverso una trasformazione ortogonale del riferimento iniziale fisso 
1 2 3
,, e e e : 

 ee                                                                                                                       (1.45) 
o, in componenti: 
i ij j
ee

                                                                                                                   (1.46) 
nella quale  è una matrice ortogonale che soddisfa la seguente relazione: 
TT
 I                                                                                                            (1.47) 
Oppure 
ij kj ik ji jk
                                                                                                    (1.48)