Distribuzioni skew-simmetriche modellate con funzioni B-spline

Capitolo 1
Introduzione
La \teoria degli errori di misura", la \curva degli errori accidentali" e il \meto-
do dei minimi quadrati"di Gauss (1809) costituiscono le pi u importanti radici
storiche della statistica che, occupandosi di fenomeni collettivi \suscettibili
di variare senza regola assegnabile a tutto rigore" Benini (1906), ha trovato
nel calcolo delle probabilit a lo strumento con cui misurare quei fenomeni.
Dalla curva gaussiana di distribuzione delle probabilit a, la statistica si  e evo-
luta verso distribuzioni pi u essibili in grado di ridurre i margini di errore
nelle stime di dati.
Infatti, sono Dixon and Hill (1982) ad aermare che \distribuzioni di proba-
bilit a che siano pi u essibili rispetto alle normali sono spesso richieste nelle
modellazioni statistiche". Ma, secondo Azzalini (1985), la denizione di un
modello statistico in grado di descrivere coerentemente il comportamento di
un fenomeno empirico non pu o prescindere dalla forma di una distribuzione.
Azzalini (1985) ha rivolto la sua attenzione alle propriet a formali studiando
le distribuzioni skew normali (SN) e introducendo un ulteriore parametro per
manovrare l’asimmetria della distribuzione.
L’ampliamento della classe delle distribuzioni normali di Azzalini  e stato mol-
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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 5
to importante per la statistica, in quanto i ricercatori non erano pi u costretti
ad assumere a priori che i dati fossero distribuiti secondo uan curva normale
standard ma potevano disporre di una classe di distribuzioni che includeva
la normale standard stessa. In questa maniera  e diminuito di molto il rischio
di un errore delle valutazioni iniziali.
Lo scopo delle generalizzazioni di una classe di distribuzioni, olter a esten-
dere la essibilit a, riduce ulteriormente il margine di errore di valutazione.
Infatti, in questa direzione si sono mossi anche Wang et al. (2004) con le loro
ricerche, quando hanno incluso la classe delle distribuzioni skew normali in
una classe pi u ampia che  e quella delle distribuzioni skew simmetriche (SS); e
Genton and Loperdo (2005) quando hanno introdotto le distribuzioni skew
ellittiche generalizzate (GSE).
Ma and Genton (2004) hanno modicato le skewing function utilizzando i
polinomi da cui derivano distribuzioni capaci di esibire multimodalit a (gli
studiosi hanno notato che al crescere del grado dispari del polinomio la di-
stribuzione presentava un numero crescente di mode), una operazione che in
precedenza si otteneva con l’utilizzo di pi u distribuzioni. In pratica, costoro
si sono accorti che le skewing function  possono essere scritte in maniera
equivalente utilizzando strumenti pi u semplici: la funzione  (x) viene scrit-
ta come H( (x)), dove la funzione H( )  e la funzione di ripartizione di una
variabile casuale simmetrica rispetto allo zero e la funzione  ( ), che nella
letteratura precedente  e una funzione dispari, viene sostituita da polinomi di
grado dispari.
Il proposito di questa tesi  e proporre una classe di distribuzioni pi u eciente
rispetto a quella presentata da Ma and Genton (2004), in quanto  e basata su
un elemento molto pi u robusto a livello computazionale rispetto ai polinomi
(che, come  e noto, hanno problemi di robustezza computazionale): in questa
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 6
tesi vengono utilizzate le funzioni B-spline, una naturale estensione dei poli-
nomi.
Il lavoro  e cos  strutturato: nel primo capitolo vengono presentate le
distribuzioni skew che si originano partendo da quelle simmetriche, quindi
le B-spline Skew Symmetric Distribution, oggetto di studio e di ricerca del
professor Frederic (2009). I capitoli 4 e 5 presentano la parte dedicata al-
le applicazioni; rispettivamente, nel quarto viene presentato lo script BSS
utilizzato per l’analisi dei dati e nel quinto vengono presentati i dati reali
analizzati.
L’appendince, inne, contiene delle speciche sulle funzioni spline e B-spline.
Capitolo 2
Le distribuzioni skew
simmetriche
Wang et al. (2004) deniscono le distribuzioni skew simmetriche tramite l’u-
tilizzo di due funzioni: una funzione f
S
, funzione di densit a di probabilit a
(d’ora in avanti indicata come pdf ) simmetrica rispetto allo 0 (es. f
S
( x) =
f
S
(x)) e una funzione  , denita skewing function, continua su tutto R,
avente le seguenti propriet a:  :R
n
! [0; 1] e  ( x) = 1  (x); 8x2R
p
:
2f
S
(x  ) (x  ); (2.1)
dove   e un qualsiasi valore in R
n
.
Possiamo aermare che la (2.1)  e una pdf; la skewing function  ha la funzione
di riallocare la densit a tra un punto e il suo esatto polo opposto. Deniremo
pertanto la (2.1) distribuzione skew simmetrica rispetto a  con una compo-
nente simmetrica f
S
e una componente di skew  .
Azzalini and Capitanio (2003) arrivarono a denire indipendentemente la
classe delle distribuzioni skew simmetriche tramite le pdf di forma:
2f
S
(x  )H( (x  )); (2.2)
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CAPITOLO 2. LE DISTRIBUZIONI SKEW SIMMETRICHE 8
dove la pdf f
S
 e continua e simmetrica rispetto allo 0; H : R! [0; 1]  e
la funzione di ripartizione (d’ora in avanti indicata con cdf, dall’acronimo
inglese cumulative distribution function) di una variabile casuale continua
simmetrica rispetto a 0 e  :R
n
!R  e una funzione dispari. Viene denita
dispari una funzione che8x2 D, dove D  e il dominio,  e sempre vero che
f( x) = f(x).
 E evidente che la classe delle distribuzioni skew simmetriche descritte dalla
(2.2)  e la medesima classe descritta dalla pdf descritta in (2.1). Da notare che
la rappresentazione di una skewing function  ( ) nella forma H( ( )) non  e
unica. Una adeguata funzione dispari  pu o essere trovata per ogni funzione
H strettamente crescente.
Proposizione Presa una funzioneg :R
n
!R
+
come pdf, un parametro
 che sia un qualsiasi punto inR
n
, possiamo asserire che
g(x) = 2f
 (x  )  (x  ); (2.3)
dove f
  e una pdf simmetrica rispetto allo 0 e   una skewing function.
Questa rappresentazione  e unica per ogni  e
f
 (s) =
g( + s) +g(  s)
2
; (2.4)
  (s) =
g( + s)
g( + s)) +g(  s)
: (2.5)
La (2.3) viene denita come rappresentazione skew simmetrica della pdf g
rispetto a  .
 E interessante notare che una rappresentazione stocastica della (2.1) si pos-
sa ottenere prendendo un vettore casuale Y continuo con pdf f(y), una
variabile casualeU uniforme nell’intervallo (0; 1) indipendente da Y. Un vet-
tore casuale X con pdf (2.1) pu o quindi essere costruito tramite la seguente
CAPITOLO 2. LE DISTRIBUZIONI SKEW SIMMETRICHE 9
rappresentazione:
X =
8
<
:
Y + se U < (Y)
 Y + se U > (Y)
(2.6)
Dalle equazioni (2.4) e (2.5) seguono alcune propriet a delle rappresentazioni
skew simmetriche:
 f
 (0) =g( );
   (0) =
1
2
.
Azzalini and Della Valle (1996), per simulare distribuzioni skew normali,
applicano alla (2.6) la propriet a di trasformazione degli integrali per arrivare
a:
X =
8
<
:
Y + se W < T
Y
 Y + se W > T
Y
(2.7)
dove, X ha una pdf del tipo (2.1), Y ha una pdf  n
(x; 0;!) e W  e N(0; 1)
indipendente da Y.
Utilizzando le propriet a di continuit a e del gradiente di g possiamo trarre
conclusioni sulla continuit a e dierenziabilit a delle funzioni f
 e   .
Sia g continua in  +s e   s, f
 (s) sar a continua sia in  che in s al punto
di coordinate (;s ). Se almeno uno di g(  s) o g( +s) non  e uno zero,
allora   (s)  e altres  continua sia in  che in s al punto (;s ).
Si assuma ora che g sia dierenziabile in  +s e   s, quindirf
 (s) =
(rg( +x)r g(  s))=2. Se almeno uno di g( +s) o g(  s) non  e uno
zero, allora
r  (s) =
[g( +s) +g(  s)]rg( +s) 2g( +s)rf(s)
[g( +s) +g(  s)]
2
: (2.8)
Se g  e dierenziabile in  , allorarf
 (0) = 0.
Seg  e dierenziabile 2 volte in  , allora l’Hessiano dif
 in 0  e uguale all’Hes-
siano di g in  .