L'analisi del profilo di rischio ed il pricing di un titolo index-linked attraverso la simulazione Monte Carlo

 2
Le opzioni saranno raggruppate in tre categorie fondamentali: le path – 
independent (il cui pay – off dipende solo dal valore dell’attività finanziaria a 
scadenza), le path - dependent (il cui pay – off dipende dal sentiero percorso 
dal sottostante durante la vita dell’opzione) e le multi – factor.(il cui pay – off 
dipende dai prezzi di due o più attività sottostanti). 
 
1.2 LE OPZIONI PATH – INDEPENDENT 
Sono quelle il cui pay – off dipende solo dal prezzo dell’underlying a scadenza 
(eccezion fatta per quelle di tipo americano). Si differenziano dalle classiche 
plain – vanilla per l’alterazione di alcuni termini contrattuali, quali il 
pagamento del premio che può essere posticipato (opzioni pay – later), la 
decorrenza del contratto (opzioni forward – start) oppure l’ammontare del pay 
- off (opzioni binarie o digitali)
1
. Vediamo quest’ultimo tipo più in dettaglio. 
 
1.2.1 Opzioni Binarie o Digital 
Ci sono due tipi di opzioni binarie: la asset or nothing call, in cui il valore 
finale è nullo se il prezzo dell’azione termina al disotto dello strike price X, 
mentre sarà pari al valore del asset di riferimento nel caso opposto. 
L’altro tipo è la cash or nothing call in cui l’opzione paga a scadenza un pay – 
off definito in figura 1. 
 
S
 Σ
Pay-off
X
Figura 1 cash or nothing call pay - off 
riassumibile in questi termini: 
 ↓
 →
 ↑
 τ
 δ
  
XS
XS
offpay
 Σ
0
 
                                                          
1
 C. Benvenuto, “Le Opzioni Esotiche Problemi di Pricing e Copertura”, Università di Ancona, (1996) 
 3
 
Praticamente questa opzione pagherà 0 se a scadenza il prezzo è inferiore al 
quello di esercizio (come per l’altro tipo di digital), mentre se è maggiore 
pagherà un certo ammontare costante di liquidità pari a  Σ (vale l’opposto per 
le put). 
 
1.3 LE OPZIONI PATH – DEPENDENT  
Le opzioni facenti parte di questa categoria hanno un pay – off dipendente 
dalla dinamica del prezzo dell’attività sottostante durante la vita dell’opzione e 
non solo dal suo valore a scadenza. Appartengono a questo gruppo le look - 
back, le barrier e le asian options. 
 
1.3.1 Opzioni Look - Back 
Le opzioni look – back trattate per la prima volta da Goldman Sosin e Gatto
2
, 
si caratterizzano per il loro valore a scadenza che è funzione del minimo o del 
massimo realizzato dal sottostante. Si consideri ora la figura 2 
 
T
S
Smax
 
Figura 2 Rilevazione del valore massimo del sottostante 
                                                          
2
 M. Goldman, H. Sosin, M. Gatto, “Path – Dependent Options, Buy at Low, Sell at the High”, 
Journal of Finance, 34 (Dicembre 1979), pp. 1111-28 
 4
Nella figura precedente viene effettuata la rilevazione del valore massimo 
assunto dall’attività finanziaria sottostante, a seconda di come sarà utilizzato 
questo valore si sarà in presenza di una fixed strike o di una floating strike look 
– back option. Più precisamente, se S
max
 ha la funzione di prezzo di esercizio, 
l’opzione a cui ci riferiamo è una floating strike look – back put, ovvero: 
 
     > ≅
TLB
SSP     
max
,0max   [1.] 
 
Mentre se lo strike price è fissato al momento dell’emissione siamo in 
presenza di una fixed strike look - back call, ovvero: 
 
     > ≅XSC
LB
    
max
,0max   [1.2] 
 
Ovviamente se si effettuasse la rilevazione del minimo si otterrebbe l’opposto. 
Si deve precisare che spesso vengono considerati i valori estremi relativi ad un 
intervallo di tempo più breve rispetto all’intera durata dell’opzione. 
 
1.3.2 Opzioni Asiatiche 
Le asian options sono opzioni il cui valore a scadenza dipende dalla media del 
prezzo del sottostante, calcolata su un periodo prestabilito.  
Ne esistono alcune varianti che si differenziano sia per il tipo di pay – off che 
per il tipo di media. Riguardo alla prima differenziazione si hanno le average 
strike, quando il valore medio è applicato come prezzo di esercizio: 
 
     > ≅
avgTavg
SSC     ,0max   [1.3] 
 
e le average price o rate quando al valore finale dell’asset (utilizzato nelle 
plain vanilla) si sostituisce la media su un determinato numero di rilevazioni 
(vedi [1.4]). 
 5
     > ≅XSC
avgavg
    ,0max   [1.4] 
 
La seconda differenziazione si ha fra media aritmetica e geometrica dei prezzi: 
la prima è ovviamente la somma dei prezzi diviso il numero totale delle 
rilevazioni utilizzate, la seconda è l’esponenziale della somma di tutti i 
logaritmi dei prezzi considerati diviso il numero totale delle rilevazioni
3
. In 
termini analitici: 
 
 ƒ
    
  
 
  
n
k
k
S
n
n
n
k
kavg
eSC
1
log
1
1
   [1.5] 
 
Se si assume che il sottostante si distribuisce in maniera log – normale, risulta 
possibile prezzare opzioni asiatiche average – price basate su media 
geometrica, mediante una soluzione analitica. Questo perché la distribuzione 
della media geometrica di singole variabili che si distribuiscono in modo log – 
normale, è anch’essa log – normale
4
. La stessa caratteristica non è 
riscontrabile in caso di media aritmetica. 
Le asian options oltre ad essere utilizzate nella costruzione di titoli strutturati, 
vengono trattate anche come strumento di copertura (spesso per rischio di 
cambio) a lungo termine, perché più economiche rispetto alle tradizionali 
plain – vanilla. 
 
1.3.3 Opzioni con Barriera 
Le opzioni barrier consistono in opzioni call e put plain – vailla che vengono 
in esistenza (knock – in call e put) o cessano di esistere (knock – out call e put) 
                                                          
3
 P. Wilmott, “Derivatives : the Theory and Practice of Financial Engineering”, Chichester, Wiley, 
(1998).Cap XVI. 
4
 A. Kemma, A. Vorst, “A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values”, Journal of 
Banking and Finance, 14 (1990) pp. 113 – 29. 
 6
quando il prezzo del sottostante durante la vita dell’opzione tocca, anche per 
un solo istante un certo livello della barriera dal basso o dall’alto. 
Per quanto riguarda la prima categoria può essere ancora suddivisa fra  up and 
in e down and in: nel primo caso il prezzo del sottostante è inferiore al livello 
della barriera, quindi dovrà salire per attivare l’opzione, nel secondo dovrà 
accadere l’inverso. Similmente per il knock – out, è possibile fare la stessa 
suddivisione, con l’unica differenza che in questo caso i movimenti in 
aumento (up and out) o in diminuzione (down and out) del sottostante 
provocheranno l’estinzione dell’opzione.  
Solitamente la barriera è posta nella regione in cui l’opzione è out of the 
money, quindi per le call è al di sotto dello strike price (e del prezzo corrente 
del sottostante), mentre per le put si trova al di sopra del prezzo di esercizio (e 
del prezzo spot). 
E’ importante evidenziare, che l’incertezza da parte dell’acquirente sulla 
possibilità di poter usufruire dell’opzione a scadenza, avrà come risvolto un 
costo più contenuto dell’opzione barrier rispetto a quella tradizionale.  
In alcuni casi è previsto il pagamento di una somma prefissata (rebate) in caso 
di non esistenza dell’opzione a scadenza. Evento che si manifesta se entro un 
determinato periodo di tempo la barriere non viene mai “trapassata” dal prezzo 
di mercato del sottostante
5
. Vediamo due esempi grafici: 
 
X SH
 Σ
 
Figura 3 Down and in call 
                                                          
5
 C. Benvenuto, “Le Opzioni Esotiche Problemi di Pricing e Copertura”, Op. Cit. 
 7
Il pay – off della barrier in figura 3 è pari a: 
 
    
 ↓
 →
 ↑
 δ   !
 δ δ  
  
TtHSseR
TtqualcheperHSseXS
offpay
t
tT
,0max
 
 
Le barrier tipo quella di figura 3 sono utilizzate per proteggersi o scommettere 
su un apprezzamento dell’attività sottostante ad un costo minore rispetto ad 
una plain – vanilla. 
Mentre in presenza di una down and in put avremo: 
X SH
 Σ
 
Figura 4 Down and in put 
 
Il pay – off della barrier in figura 4 è pari a: 
 
    
 ↓
 →
 ↑
 δ    
 δ τ  
  
TtHSseR
TtqualcheperHSseSX
offpay
t
tT
,0max
 
 
Una posizione lunga su questo tipo di barrier ha la funzione di copertura o 
scommessa, su un deprezzamento del sottostante oltre la barriera, ovviamente 
ad un costo più contenuto di un’opzione tradizionale. 
Di questo tipo di esotiche ne sono sorte innumerevoli varianti: con doppia 
barriera, con barriera a tempo (significa che deve essere superata entro un 
determinato in intervallo temporale) e molte altre. L’utilizzo però più 
 8
interessante ai fini di questo lavoro resta quello all’interno di una nuova 
generazione di obbligazioni strutturate i reverse convertible, di cui verrà data 
una spiegazione funzionale nei paragrafi successivi. 
 
1.4 OPZIONI MULTI - FACTOR 
Il pay – off dipende dai prezzi di due o più attività sottostanti, come nel caso 
delle opzioni rainbow
6
 il cui pay – off, (nel caso di call), è pari alla differenza 
tra il valore più alto raggiunto tra due o più attività finanziarie sottostanti e lo 
strike – price; delle quanto
7
 in cui il prezzo dell’attività sottostante o prezzo di 
esercizio sono denominate in valuta straniera e delle basket
8
, in cui invece il 
pay – off dipende dalla media dei prezzi di più attività sottostanti, come nel 
caso di opzioni sugli indici utilizzate per la costruzione di titoli index – linked. 
Vediamo più in dettaglio quest’ultimo tipo di opzioni. 
 
1.4.1 Le Basket Options 
Per spiegare il funzionamento di questo tipo di opzione viene riportato un 
esempio pratico le cui caratteristiche sono facilmente trasferibili a tutti i casi in 
cui viene utilizzato questo tipo di “esotica”. 
Consideriamo tre dei principali indici azionari della borsa di Toronto: il 
30TSE , il TSE 100 e TSE 300. Delle società rappresentate in questo indice, 
appartenenti ai differenti settori economici (energetico, utilities, legname…), 
si consideri il settore forestale che è rappresentato all’interno del TSE 100 da 
18 azioni, ma con un peso che arriva appena al 4,82% sul valore dell’indice. 
Considerando i dati macroeconomici fondamentali e i trend ciclici, si suppone 
che un investitore prevede che nell’arco dei prossimi tre mesi una forte 
crescita dei corsi delle azioni legate al settore della carta e del legno. 
                                                          
6
 M. Rubinstein, “Somewhere Over the Rainbow”, Risk  (novembre 1991). 
7
 E. Reiner, “Quanto Mechanism” Risk, (Marzo 1992). 
8
 R. Dembo, P. Patel, “Protective Basket”, Sta in M. Rubenstein “ From Black-Scholes to Black Holes 
New Frontiers in Options”, Risk Magazine, (1992). 
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Per monetizzare la sua previsione, potrebbe acquistare una opzione call 
sull’indice TSE 100 . Come già detto precedentemente però, questa strategia 
presenta un lato negativo: la categoria di azioni in cui è previsto un rialzo delle 
quotazioni, rappresenta solamente una piccola percentuale dell’indice.  
Una via più efficace per raggiungere lo stesso obbiettivo, è quella acquistare 
un opzione call con vita a scadenza di tre mesi, che abbia come sottostante il 
paniere dei 18 titoli della categoria economica prescelta, facenti parte 
dell’indice azionario.  
Nel pricing di questi prodotti, che avviene quasi esclusivamente per procedura 
numerica, è necessario tenere conto della correlazione che esiste fra le varie 
attività finanziarie sottostanti
9
.  
Nei prossimi paragrafi insieme ad una descrizione dell’evoluzione del mercato 
obbligazionario italiano saranno forniti alcuni esempi di titoli strutturati 
costruiti con l’utilizzo delle opzioni esotiche descritte in precedenza. 
 
1.5 L’EVOLUZIONE DEL MERCATO OBBLIGAZIONARIO 
Negli ultimi anni anche in Italia si è verificato un notevole sviluppo del 
mercato delle obbligazioni strutturate. Questi strumenti, nati in principio sulla 
spinta della domanda di investitori istituzionali, hanno cominciano 
progressivamente a diffondersi anche presso quei piccoli risparmiatori, che 
alla ricerca di nuovi prodotti che potessero sostituire i titoli di stato vi hanno 
trovato il giusto mix di rischio – rendimento atteso. 
Ma prima di entrare nello specifico è interessante vedere come si è evoluto il 
mercato obbligazionario italiano rispetto a quello europeo e statunitense.  
 
                                                          
9
 K. Ravindran “Customized Derivatives: a Step by Step Guide to using Exotic Options, Swaps and 
other Customized Derivatives” McGraw Hill (1998) Cap. III