L'olografia acustica: uno strumento per l'analisi della trasmissione sonora

 2 
ricerca, le vibrazioni, la qualit� dei materiali ed in generale le problematiche di 
controllo del rumore all�interno ed all�esterno di automobili, aeromobili, navi. 
La teoria dell�olografia acustica � basata sull�equazione integrale di Kirchhoff -
 Helmholtz e sulla trasformata di Fourier bidimensionale. La pressione complessa su 
superfici parallele e conformi con quella olografica � calcolata operando una 
trasformata di Fourier inversa in due dimensioni del prodotto dello spettro in frequenza 
spaziale della pressione olografica per la funzione di Green valutata alla distanza 
opportuna. 
Nota che sia la pressione, con l�equazione di Eulero si pu� calcolare la velocit� 
particellare e, considerando la parte reale e la parte immaginaria del prodotto della 
pressione stessa con il coniugato della velocit�, si possono ottenere i valori 
dell�intensit� acustica attiva e reattiva. 
Le misure di olografia acustica sono effettuate nel campo vicino della sorgente, ad 
una distanza minore di una lunghezza d�onda, per catturare informazioni localizzate 
che sono contenute nelle onde cosiddette �evanescenti� che non si propagano nel 
campo lontano subendo un decadimento esponenziale in funzione della distanza dalla 
sorgente.  
Il processo di acquisizione dei dati necessita di un array di punti di misura di 
dimensioni almeno 16�16 per cui sono necessari almeno 256 microfoni nel caso di 
applicazioni a fenomeni di tipo instazionario o un numero inferiore nel caso il 
fenomeno in questione sia stazionario e sia possibile effettuare una scansione della 
superficie di misura. 
 3 
In questo lavoro, non disponendo di un numero di microfoni sufficiente per 
allestire una prova sperimentale, l�applicazione della tecnica olografica � stata 
realizzata a partire da dati ottenuti con una simulazione numerica. 
Si � realizzato un modello agli elementi finiti di un pannello di alluminio 
accoppiato ad un box acustico; � stata studiata la risposta dinamica del modello ad 
un�opportuna sollecitazione con l�ausilio del software Nastran ed i dati di pressione 
ottenuti dall�analisi e relativi a piani del volume acustico paralleli al pannello sono stati 
utilizzati, in luogo di dati acquisiti sperimentalmente, come input per l�applicazione 
olografica. 
Tale applicazione � stata implementata con due codici, �PROPAGAZIONE� e 
�RICOSTRUZIONE� volti a studiare con la tecnica dell�olografia acustica, 
rispettivamente la propagazione sonora in campo libero e la ricostruzione delle 
caratteristiche della sorgente vibrante. 
 4 
 
 
 
 
CAPITOLO I  –  PRINCIPI GENERALI DI ACUSTICA 
 
1.1   IL SUONO 
E� possibile definire il suono come una perturbazione, prodotta da una sorgente 
sonora, che, propagandosi in un mezzo elastico, provoca una variazione di pressione ed 
uno spostamento di particelle tale da poter essere rilevata da una persona o da uno 
strumento acustico. Da quanto affermato scaturisce che un qualsiasi fenomeno acustico 
prevede la presenza contemporanea della sorgente sonora, del mezzo di trasmissione e 
del ricevitore. 
Il fenomeno ondulatorio, connesso con il suono, fa s� che le particelle del mezzo in 
cui esso si trasmette vibrino, propagando cos� la perturbazione alle particelle vicine. 
Mentre questa perturbazione, che trasporta sia l�informazione sia l�energia, si propaga 
a distanza, le singole particelle anche nel caso di fluidi, cio� gas e liquidi, rimangono 
sempre in prossimit� della loro posizione originaria. Queste oscillazioni delle 
particelle, ciascuna attorno alla propria posizione di equilibrio, determinano in ciascun 
punto dello spazio interessato dall�onda sonora delle variazioni in pi� (zone di 
condensazione) ed in meno (zone di rarefazione) della pressione rispetto al valore di 
 5 
pressione  del mezzo in quiete. La forma di un�onda sonora - cio� la geometria con cui 
la perturbazione sonora si propaga nello spazio - dipende sia dalle modalit� di 
generazione (cio� dal tipo di sorgente sonora), sia dalle caratteristiche intrinseche e 
dalle delimitazioni del mezzo elastico.  
Figura  1.1 – Zone di rarefazione e di compressione 
 
In dipendenza essenzialmente dalla sorgente sonora, possono individuarsi due tipi 
principali di onde sonore, le onde sferiche e le onde piane. 
• L�onda sferica prodotta da una sorgente puntiforme (per es. una sferetta 
pulsante) in uno spazio privo di delimitazioni, si irradia in tutte le direzioni 
in modo tale che l�ideale superficie che unisce i punti dello spazio ove vi 
sia - ad un certo istante - una stessa variazione di pressione (tale superficie 
si chiama fronte d�onda) � una sfera concentrica alla sorgente. 
Evidentemente, a distanze via via crescenti dalla sorgente, i fronti d�onda 
sferici considerati su una area limitata presentano una curvatura 
decrescente, tanto che l�onda sferica pu� in tal caso assimilarsi ad 
 6 
un��onda piana� prodotta da una sorgente a superficie piana di grandi 
dimensioni; 
 
 
Figura  1.2 – Propagazione di un’onda sferica 
 
• L�onda piana prodotta per esempio da un pistone agente ad una estremit� di 
un tubo cilindrico, si propaga in una unica direzione; in tal caso i fronti 
d�onda sono sezioni piane del tubo perpendicolari al suo asse. La moderna 
teoria acustica della produzione della parola approssima il condotto vocale 
ad una successione di tubi retti di diversa sezione in cui la propagazione 
del suono avviene per onde piane. 
 
 7 
 
Figura  1.3 – Propagazione di un’onda piana 
 
Per quanto riguarda l�influenza del mezzo di propagazione, si ha che nel caso di 
gas o di liquidi, che non possono trasmettere sforzi di taglio, le vibrazioni delle 
particelle sono sempre parallele alla direzione dell�onda che si propaga, per cui si parla 
di onde longitudinali. 
Al contrario, nel caso dei solidi, che possono trasmettere sforzi di taglio, ci sono 
anche vibrazioni perpendicolari all�onda, cui corrispondono perci� delle onde 
trasversali. 
In particolare in questo lavoro sono di interesse fenomeni di propagazione del 
suono in aria per cui l�analisi sar� limitata al caso di onde longitudinali. 
 
1.2   VELOCITA’  DI PROPAGAZIONE 
La velocit� di propagazione delle onde sonore dipende esclusivamente dal mezzo 
di trasmissione mentre la frequenza delle vibrazioni locali dipende dalla sorgente. Nel 
caso dei gas perfetti, quale pu� in prima approssimazione essere considerata l�aria nelle 
 8 
condizioni standard di temperatura, 25�C, e pressione, 1 atm, la velocit� di 
propagazione del suono che sar� di qui innanzi indicata con c, pu� essere espressa 
mediante la relazione: 
0
0
0
pE
c
ρ
γ
=
ρ
=   [m/s] (1.1) 
dove 
0
pE γ=  � il modulo di elasticit� del mezzo
v
p
c
c
=γ , il cosiddetto indice 
dell�adiabatica, � il rapporto tra il calore specifico a pressione costante ed il calore 
specifico a volume costante, 
0
p  [Pa] � la pressione del gas e 
0
ρ  [kg/m
3
]  � la massa per 
unit� di volume. 
Utilizzando l�equazione di stato dei gas ideali 
00
m
0000
TR
M
M
TnRVp == (1.2) 
dove, con riferimento al gas considerato, 
0
V [ m
3
] � il volume, n [kmol] la 
quantit� di gas, 
0
T  [K] la temperatura assoluta, 
0
R  [J/kmol*K] la costante universale 
dei gas, M [kg] la massa, 
m
M  [kg/kmol] la massa molare, considerando che la costante 
del gas considerato � 
m
0
M
R
R =  e sostituendo opportunamente nella ( 1.1 ) si ottiene
 
0
m
00
RT
M
TR
c γ=
γ
=   [m/s] (1.3) 
Nel caso particolare dell�aria, essendo 4.1=γ   ed  29M
m
=  [kg/kmol] si ha 
0
T*04.20c =   [m/s] (1.4) 
 9 
se la temperatura � espressa in K. Equivalentemente, la velocit� di propagazione � 
esprimibile in funzione della temperatura θ  in �C nel seguente modo 
θ+= 6.02.331c  [m/s] (1.5) 
 
 
Tabella  1.1 – Velocità di propagazione del suono (a 20 °C) 
 
1.3   ALTRI PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO IL SUONO 
Nel fenomeno sonoro, oltre alla velocit� di propagazione, che misura la rapidit� 
con cui il segnale si sposta da un punto all�altro del mezzo di trasmissione, occorre 
considerare altre propriet� caratteristiche delle onde come la frequenza, il periodo e la 
lunghezza d�onda. 
La frequenza f, legata alla rapidit� con cui le particelle oscillano in ogni singolo 
punto, � il numero di oscillazioni nell�unit� di tempo: si misura in cicli per secondo, 
ossia in Hertz [Hz].  
L�inverso della frequenza � il periodo T, misurato in secondi [s], che consiste nel 
tempo necessario affinch� le particelle compiano un�oscillazione completa. 
 10 
Infine, prende il nome di lunghezza d�onda, indicata con λ e misurata in metri [m], 
la distanza percorsa dall�onda durante un�oscillazione completa. 
Le tre grandezze appena definite sono legate tra di loro ed alla velocit� di 
propagazione da relazioni del tipo: 
cT
f
c
==λ (1.6)
Nel caso di individui normal-udenti, il campo di frequenze percepibili si estende 
approssimativamente tra 20 e 16000 Hz; ci� consente di definire �perturbazione 
acustica� una perturbazione ondulatoria di frequenza appartenente al range su indicato, 
capace cio� di sensibilizzare l�orecchio umano. Per essere udibile, inoltre, un suono 
deve avere un�intensit� maggiore di un certo valore minimo, detto soglia di udibilit�. Il 
campo di sensibilit� dell'orecchio umano � molto ampio; infatti il rapporto tra 
l'intensit� sonora della soglia del dolore e l'intensit� della soglia di udibilit� � di 
1014:1.  
Dal momento che lavorare su una scala cos� ampia non � comodo e che l'orecchio 
umano non si comporta in modo lineare, si � introdotta una scala logaritmica: la scala 
dei decibel. Il parametro utilizzato � il livello di pressione sonora (sound pressure 
level) 
2
0
2
p
p
p
log10L =  [dB] (1.7) 
 Il valore 0 di questa scala deve quindi essere definito con una convenzione 
consistente nel fissare un valore di riferimento 
0
p  a cui far corrispondere il valore 
0L
p
= . E' bene quindi sottolineare che il dB non � una unit� di misura, ma un modo di 
 11 
esprimere una certa misura: esso � adimensionale. Per la pressione sonora si � stabilito 
il valore di riferimento di 20 �Pa, essendo questo il pi� piccolo valore di pressione in 
grado di produrre una sensazione sonora in un orecchio normale alla frequenza di 1000 
Hz. 
 
 
Figura  1.4 – Pressione sonora ed SPL 
 
E� necessario fissare anche una frequenza di riferimento, per il fatto che l'orecchio 
umano presenta sensibilit� diverse alle varie frequenze, cio� due suoni che hanno lo 
 12 
stesso livello di pressione sonora a diverse frequenze possono provocare una diversa 
sensazione sonora.  
Tale comportamento differenziato si evidenzia con la famiglia di curve isofoniche, 
le quali riuniscono i punti rappresentanti suoni puri, cio� aventi frequenza unica, che, 
alle diverse frequenze, danno la stessa sensazione uditiva . 
 
 
 
Figura  1.5 – Curve isofoniche 
 
Altre grandezze utilizzate nella caratterizzazione del fenomeno acustico sono la 
potenza, l�intensit� acustica, la densit� di energia sonora e la direzionalit� della 
sorgente sonora. 
 13 
La potenza acustica W [W] definisce l'energia acustica irradiata dalla sorgente 
nell'unit� di tempo, nel caso di una sorgente di ridotte dimensioni, tali che possa essere 
considerata puntiforme, omnidirezionale e posta in un mezzo isotropo, l�energia si 
irradia nello spazio circostante in modo uniforme al variare della direzione: la 
propagazione avviene per onde sferiche. Misurando la variazione di pressione causata 
dalla perturbazione, si pu� notare che essa diminuisce in ampiezza man mano che ci si 
allontana dalla sorgente, perch� l�energia si distribuisce su un fronte d�onda sempre pi� 
ampio. 
L�intensit� acustica I [W/m
2
] � definita come la potenza sonora che attraversa la 
superficie unitaria orientata ortogonalmente alla direzione di propagazione dell�onda: 
in altre parole, I � il flusso di energia sonora per unit� di superficie. Formalmente, il 
vettore intensit� sonora in una direzione si pu� definire come il prodotto della 
variazione di pressione p per la componente in quella direzione della velocit� di 
oscillazione v delle particelle. 
Essendo definita come media temporale del prodotto tra pressione e velocit� delle 
particelle, 
() ()dttvtp
T
1
vpI
T
0
ρρ
ρ
∫
>=⋅=<  (1.8) 
nel caso di propagazione in campo libero, l�intensit� acustica risulta essere 
direttamente proporzionale al quadrato del valore efficace 
∫
=
T
0
2
RMS
dt)t(p
T
1
p della 
 14 
pressione acustica. Nel caso di un�onda di pressione sinusoidale, si ha 
2
p
p
MAX
RMS
=  , 
da ci� deriva per l�intensit� acustica l�espressione:  
ϑ
ρ
=ϑ
ρ
=ϑ= cos
c
p
cos
c
p
2
1
cospv
2
1
I
0
2
RMS
0
2
(1.9) 
dove v � il modulo della velocit� particellare, ϑ  � l�angolo di incidenza dell�onda 
acustica e cZ
00
ρ=  [kg/m
2
s] � l�impedenza acustica caratteristica del mezzo che 
rappresenta la �resistenza� che il mezzo oppone all�oscillazione indotta.  
La densit� di energia acustica D [J/m
3
]  � definita come l�energia sonora che, in un 
dato istante, risulta localizzata nell�unit� di volume che circonda un certo punto dello 
spazio, in formule 
c
I
c
p
D
MAX
2
0
2
RMS
=
ρ
= (1.10)
La maggior parte delle sorgenti non hanno caratteristiche omnidirezionali n� 
possono essere considerate puntiformi ai fini della determinazione della potenza 
acustica emessa. Misurando il livello di pressione acustica alla stessa distanza ma in 
direzioni diverse,  esso pu� variare in maniera consistente per cui si definisce il fattore 
di direttivit� Q come il rapporto tra il valore  rms della pressione acustica misurato in 
una determinata posizione rispetto alla sorgente e quello che si misurerebbe  nello 
stesso punto se la sorgente, a parit� di potenza, fosse omnidirezionale.