Modello Matematico di velivolo autonomo UAV e sintesi di osservatore ottimo

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INTRODUZIONE 
 
 
 
Nel presente lavoro di tesi ci si pone l’obiettivo di studiare e sintetizzare in 
campo lineare un osservatore ottimo in grado di poter dare una stima quanto più 
fedele dello stato reale per un velivolo autonomo (UAV), nel suo moto laterale 
secondo diverse configurazioni di volo e prestazioni. Questo nell’intento di 
creare un punto di partenza per un’eventuale progettazione di controllore 
robusto della stabilità laterale. 
Già presentato in altri precedenti lavori di tesi, un velivolo autonomo è 
caratterizzato dall’assenza di pilota a bordo, per tanto identificato mediante la 
notazione UAV (Unmanned Aerial Vehicle, aereo senza equipaggio). Una tale 
configurazione in campo aeronautico implica difficoltà di manovra e stabilità di 
assetto del velivolo, venendo a mancare la risposta immediata e sensoriale 
dell’equipaggio a bordo durante eventuali manovre o in presenza di disturbi 
esterni quali raffiche di vento.
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Velivolo autonomo UAV per la sorveglianza del territorio. 
 
Un punto di vista che si assume per associare ad un sistema reale un modello 
matematico è quello di tipo ingresso-uscita, il quale consiste nella scelta delle 
grandezze mediante le quali viene stimolata l’evoluzione del sistema, 
denominate grandezze d’ingresso, e di quelle di particolare interesse 
nell’osservazione dell’evoluzione del sistema denominate grandezze di uscita. 
Tuttavia, lo svantaggio di tale tipo di approccio è l’impossibilità di determinare 
univocamente il segmento di uscita a partire da quello d’ingresso e, per questo 
motivo, risulta utile basarsi sulla rappresentazione con lo stato. 
Nel campo dei sistemi automatici un velivolo viene rappresentato mediante 
uno spazio di stato caratterizzato da ingressi, stati del sistema (rappresentanti
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l’evoluzione del sistema nel tempo) ed uscite (ciò che si osserva dello stato 
reale). 
La progettazione e la sintesi di un sistema in grado di osservare lo stato e di 
controllare la stabilità del velivolo richiede lo studio dello stesso velivolo, 
partendo dalle sue equazioni generali del moto. Tali equazioni sono di fatto 
differenziali, non lineari e presentano accoppiamento tra moto longitudinale e 
laterale: la sintesi di un sistema di osservazione e controllo andrebbe fatta quindi 
considerando le equazioni complete del moto, con un incremento della mole di 
calcolo, ottenendo comunque risultati non approssimati e molto vicini al caso 
reale. 
Lo scopo principale in tale campo è quindi quello di ottenere risultati quanto 
più prossimi alla realtà, teoricamente utilizzando sistemi non lineari che seguano 
il reale comportamento del velivolo. Tuttavia, alleggerendo il calcolo con 
opportune e valide semplificazioni derivate dalla considerazione di certi 
parametri costanti (trascurando per esempio  il consumo di combustibile rispetto 
alla massa complessiva), è possibile raggiungere risultati accettabili entro certe 
tolleranze: nasce da qui l’uso frequente e abbastanza soddisfacente della 
linearizzazione del sistema velivolo con conseguente  studio disaccoppiato dei 
moti longitudinale e laterale.
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Le equazioni, come verrà illustrato in dettaglio nel capitolo successivo, 
vengono semplificate  e linearizzate facendo riferimento alla “teoria delle 
piccole perturbazioni” a partire da una configurazione di equilibrio, garantendo 
comunque un scarto minimo tra comportamento reale ed approssimato. 
Dall’analisi lineare  deriva la possibilità di considerare la “sovrapposizione degli 
effetti”, strumento utile in quanto l’uscita può essere  considerata somma di tutte 
le uscite elementari relative ai vari ingressi pensati agenti singolarmente e con 
ordine arbitrario. Infine, un ulteriore alleggerimento del calcolo può esser 
ottenuto mediante un approccio deterministico, nel senso che gli ingressi 
vengono considerati noti a priori.  
Ricapitolando quindi, il moto del velivolo reale rappresentato da equazioni 
non lineari viene semplificato mediante il principio delle piccole perturbazioni e 
le equazioni del moto longitudinale vengono disaccoppiate da quelle del moto 
laterale, potendosi così studiare separatamente i due aspetti. Considerato allora il 
velivolo tramite uno spazio di stato con matrici numeriche (dovute alla 
linearizzazione), elementi leganti delle relazioni tra ingressi, stato del velivolo 
ed uscite, è necessario sintetizzare un sistema di controllo in grado di operare le 
correzioni necessarie alla stabilità durante il moto, non altrimenti possibili per la 
mancanza del pilota. Un controllore siffatto dovrebbe retroazionare le uscite del
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sistema, rettificandone gli scostamenti dai valori desiderati (segnale agente) ed 
effettuare le eventuali manovre correttive.  
Ora, tale metodo può risultare poco preciso poiché in realtà in un sistema 
rappresentato mediante spazio di stato, lo stesso stato è una realtà 
incontrovertibile per cui non si può affermare di avere accesso allo stato, il quale 
molto spesso non può essere nemmeno misurato in modo certo e diretto. 
Quello che viene misurato tramite l’uscita altro non è se non un insieme di 
valori che indirettamente danno indicazioni sullo stato (ad esempio, tramite un 
giroscopio si ricavano indicazioni sulla posizione angolare del velivolo), 
sfruttando quindi relazioni, elettriche o di altra natura, che sono note ma che 
possono anche essere inquinate da errori o rumori. Per rendere ancora più chiaro 
il concetto: lo stato è l’essenza, mentre l’uscita è ciò che dello stato viene 
percepito, e ciò porta alla consapevolezza che la difficoltà di accesso allo stato è 
uno dei problemi più complessi da risolvere per esercitare il controllo. 
 Ecco quindi, nel campo della teoria del controllo moderno, la necessità di 
utilizzare un osservatore  il quale appunto stimi o “osservi” lo stato del sistema 
attraverso l’uscita misurata, nel modo più preciso e prossimo a quello reale 
possibile ottenendo così una retroazione dello “stato stimato”.  
Tale tecnica è in effetti moderna e presenta un serie di vantaggi dal punto di 
vista computazionale rispetto alla retroazione di uscita o di stato-completo. In
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effetti è noto che la retroazione di stato abbia dei vantaggi rispetto a quella di 
uscita: ciò è riferito al fatto che la presenza di disturbi esterni di carattere 
stocastico (raffiche), rumori di misura nei sensori adibiti alla verifica di 
posizione e di assetto del velivolo ed approssimazioni introdotte nel processo di 
modellazione del sistema porti ad un appesantimento del calcolo rispetto 
all’utilizzo della retroazione di stato. 
 Tramite questa infatti, è necessario solo pervenire alla risoluzione 
dell’equazione matriciale algebrica di Riccati, per la quale sono disponibili 
molteplici tecniche tra cui il software qui usato MATLAB, mentre nel caso della 
progettazione tramite retroazione di uscita si devono risolvere tre coppie di 
equazioni non lineari, le quali richiedono metodi iterativi. Un ulteriore ed 
interessante vantaggio che il sistema con la retroazione di stato presenta rispetto 
a quello con retroazione di uscita si ha nel caso in cui la struttura del regolatore 
non sia stata definita in partenza: è possibile infatti, determinare la struttura 
(inizialmente non conosciuta) del regolatore sulla base di un desiderato 
comportamento del sistema reale. 
In questo lavoro di tesi si procederà alla strutturazione del modello 
matematico del velivolo in questione, tramite il calcolo delle sue derivate di 
stabilità e di controllo per due assetti di volo, di crociera ed operativo, ed alla 
sintesi dell’osservatore denominato Filtro di Kalman per la stima ottima dello
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stato, creando solide basi per la eventuale strutturazione di un controllore in 
grado di stabilizzare lateralmente il velivolo in presenza dei disturbi 
precedentemente presentati. 
Poiché come detto tutti gli stati del sistema sono raramente osservabili, il 
primo passo è quello di stimare lo stato-completo x(t) date le informazioni 
parziali presenti nell’uscita misurata: in ciò sta il problema della progettazione 
dell’osservatore. Una volta stimato lo stato, è possibile sfruttare tale “stima” per 
progettare un guadagno di retroazione (controllore) come se tutti gli stati fossero 
misurati: la combinazione dell’osservatore e del guadagno di retroazione 
costituisce un completo sistema di controllo dinamico pari a quelli utilizzati 
tramite la teoria classica. In realtà, secondo il “principio di separazione” è 
possibile progettare separatamente l’osservatore (oggetto di questa tesi) ed il 
controllore a retroazione, per poi concatenare i risultati ottenuti dai due sistemi. 
Poiché la progettazione del filtro di Kalman va posta nell’ambito del 
controllo del velivolo UAV in questione, è opportuno definire alcune ipotesi di 
partenza che saranno poi riprese in dettaglio nello studio del controllore.  
Si è accennato al sistema di controllo “robusto”: tale denominazione è usata 
per definire le caratteristiche di affidabilità del sistema automatico, in termini di 
capacità dello stesso a garantire la perfetta risposta del velivolo anche in
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condizioni diverse da quelle nominali o in presenza di disturbi quali raffiche di 
vento o rumori di misura.  
Risulta inoltre necessario, fin dalla prima fase di progettazione, determinare 
le variabili del sistema che saranno retroazionate e quindi stimate, e le variabili 
di comando definite dalle azioni del pilota a terra tramite la console di controllo 
del velivolo. Queste ultime, volendo studiare il moto laterale riguardante la 
virata, saranno le variabili direttamente interessate al controllo della traiettoria, e 
cioè le deflessioni degli alettoni 
a
δ per ciò che riguarda il moto di rollio, e le 
deflessioni  del timone di direzione (rudder) 
r
δ per il moto di imbardata. Ora, le 
variabili in gioco nel caso del moto laterale sono l’angolo β di sideslip dovuto 
alla rotazione di imbardata, la velocità di pitch o rollio p, la velocità angolare di 
imbardata o yaw r, e l’angolo di bank φ determinato dal moto di rollio. Poiché 
con la retroazione dello stato stimato si possono retroazionare alcune variabili 
per poter appunto “stimare” l’intero stato, e poiché β , r, φ e p sono legati tra 
loro rispettivamente, si può assumere che il moto laterale di virata risulti 
principalmente influenzato dagli angoli β e φ . La relazione quindi tra le 
variabili di stato stimate β e φ e quelle di controllo del rudder e degli alettoni è: 
 
0 > β Δ  0 > δ r