dove
r
e
=e
2
/mc
2
� il raggio classico dell�elettrone
N
a
� la densit� atomica
n
j
� il numero di atomi del j-esimo elemento presenti nel composto
f
j
=f
j1
-if
j2
� il fattore atomico di diffusione del j-esimo elemento che � dato dal
rapporto tra l�ampiezza diffusa dall�atomo e quella che sarebbe diffusa dal singolo
elettrone libero.
Le costanti ottiche impiegate in questa ricerca sono prelevate dagli archivi del Center
for X-Ray Optics, Lawrence Berkeley [2] e del Lawrence Livermore National
Laboratory [3]. I dati forniti da questi enti sono stati ricavati con misure sperimentali
della sezione d�urto di sostanze elementari. I valori misurati sono stati introdotti
nell�espressione del fattore atomico di diffusione:
per la parte reale si usa la relazione di dispersione di Kramer-Kronig [4]
ε
ε
εσε
π
d
E
)(
hcr
1
Zf
0
22
a
2
e
*
1
∫
∞
−
+=
Dove σ
a
� la sezione d�urto, E � l�energia della radiazione incidente e ε � l�energia di
risonanza degli elettroni. Nel limite dei fotoni ad alte energie f
1
approssima a Z* che
differisce dal numero atomico Z per una piccola correzione relativistica
()
37.2
*
5.82/ZZZ −≈
invece per la parte immaginaria risulta
λ
σ
e
a
2
r2
f =
Una considerazione importante riguarda i materiali ferromagnetici: l�indice di
rifrazione dipende fortemente dal loro stato di polarizzazione e questo permette di
regolare le propriet� di riflessione di una struttura attraverso l�applicazione di un
campo magnetico.
2.2 Riflessione da una struttura multistrati
Si consideri un�onda linearmente polarizzata che si propaga in un mezzo con indice
di rifrazione n
0
e incide una superficie di separazione piana tra questo mezzo e un
altro mezzo con indice di rifrazione n
1
. Dall�onda incidente hanno origine un�onda
trasmessa e una riflessa. La combinazione della radiazione incidente e di quella
riflessa d� origine ad un�onda stazionaria. Siano φ
0
e φ
1
rispettivamente gli angoli di
incidenza e di rifrazione dalla normale del piano di separazione (Fig. 2.1) e indicando
con s la polarizzazione ortogonale al piano π di incidenza, con p la polarizzazione nel
piano π di incidenza si posso scrivere i coefficienti di Fresnel.
Fig. 2.1 Riflessione e rifrazione presso un�interfaccia piana
1100
1100
s
01
cosn
~
cosn
~
cosn
~
cosn
~
r
φφ
φφ
+
−
= (2.4)
1001
0011
p
01
cosn
~
cosn
~
cosn
~
cosn
~
r
φφ
φφ
+
−
= (2.5)
1100
00
s
01
cosn
~
cosn
~
cosn
~
2
t
φφ
φ
+
= (2.6)
n
0
n
1
φ
0
φ
0
φ
1
π
r
01
t
01
0110
11
p
01
cosn
~
cosn
~
cosn
~
2
t
φφ
φ
+
= (2.7)
e per incidenza normale
10
10
n
~
n
~
n
~
n
~
r
+
−
= (2.8)
10
0
n
~
n
~
n
~
2
t
+
= (2.9)
che si ottengono applicando le condizioni di continuit� dei campi elettrici e
magnetici all�interfaccia.
I coefficienti sono legati dalla relazione:
1rtt
2
011001
=+ (2.10)
Gli angoli φ
0
e φ
1
dalla normale sono in relazione tra loro dalla legge di Snell:
....senn
~
senn
~
1100
== φφ (2.11)
Ora si calcola la riflessione di un�onda da uno strato sottile compreso tra due mezzi
diversi supponendo che i materiali costituenti le interfacce siano omogenei, cio� che
la somma delle onde secondarie diffratte in ogni punto del materiale non dia
contributo (Fig. 2.2).
Indicando il ritardo di fase dell�onda dall�interfaccia a (01) all�interfaccia b (12) con
111
cosdn
~
2
φ
λ
π
Φ = (2.12)
si ha, sommando sulle infinite riflessioni (serie geometrica), che
[]
∑
∞
=
−−+=
0j
j
121012100101
)i2exp(rr)i2exp(rttrr ΦΦ
()
()Φ
Φ
i2exprr1
i2exprtt
r
1210
121001
01
−−
−
+=
(2.13)
Fig. 2.2 Riflessioni multiple tra le interfacce di un film sottile
posto r
a
=r
01
=-r
10
e r
b
=r
12
e usando la relazione (2.10) si ottiene
)i2exp(rr1
)i2exp(rr
r
ba
ba
Φ
Φ
−+
−+
= (2.14)
Il calcolo deve essere eseguito per le due diverse polarizzazioni.
L�uso ricorsivo di queste relazioni permette di calcolare la riflettivit� di un qualsiasi
multistrato nelle ipotesi fatte sopra. Pertanto con r
a
dato dal coefficiente di Fresnel e
usando r
b
tra il materiale 1 e 2 si calcola il coefficiente r relativo al primo strato e
utilizzando questo valore come r
a
del secondo strato si pu� continuare fino
all�interfaccia relativa al substrato. La media dei moduli quadrati delle polarizzazioni
d� la riflettivit� per una radiazione incidente non polarizzata.
2
rr
R
2
p
2
s
+
= (2.15)
Se i coefficienti di Fresnel sono tali che 1rr
ba
<< , le riflessioni multiple possono
essere trascurate e la (2.14) diventa
0
a
b
1
2
r
01
t
10
t
10
t
10
t
01
r
12
r
12
r
12
n
1
)i2exp(rrr
ba
Φ−+= (2.16)
che � l�espressione del modello vettoriale. Applicando la relazione (2.16) all�intero
multistrato con M strati (Fig. 2.3) si ottiene
Fig. 2.3 Diagramma schematico di un multistrato secondo il modello vettoriale
∑
=
−=
M
0h
hh
)i2exp(rr Φ (2.17)
∑
=
=
h
1j
)j(h
ΦΦ : indica al differenza di fase tra la h-esima interfaccia e la superficie
esterna.
2.3 Strutture periodiche
Per materiali che non presentano assorbimento alle λ da riflettere, la struttura del
multistrato � costituita da strati di spessore ottico
t
cos
4
φ
λ
(φ
t
angolo di rifrazione).
La riflettivit� pu� tendere al valore unitario nell�ipotesi in cui il multistrato abbia
interfacce nette, prive di rugosit� e strati privi di errori sullo spessore. Se il reticolo �
uniforme ed equispaziato le fasi 2Φ
h
(eq.(2.17)) saranno multipli interi di 2π, per
avere un�interferenza costruttiva.
Nel caso di mezzi assorbenti la riflettivit� non raggiunge mai l�unit� poich�
specialmente negli antinodi dell�onda stazionaria ci sar� un forte assorbimento. In
0
1
j
m
m+1
vuoto
nj
substrato
questo caso anche se l�onda riflessa da ciascuno strato somma in fase, solo pochi
strati possono contribuire alla riflettivit� totale a causa dell�estinzione dell�onda
incidente negli strati pi� profondi.
Un�altra struttura che pu� produrre alta riflettivit� � il cristallo di Bragg (Fig. 2.4). Se
un�onda e.m. incide con un angolo di radenza θ ci sar� interferenza costruttiva tra
l�onda incidente e diffusa se la differenza di cammino dei raggi riflessi da due piani
atomici paralleli � un multiplo della λ
λθ msend2
B
= (con m intero)
Fig. 2.4 Riflessioni di Bragg da due piani atomici
Nel cristallo di Bragg i piani atomici sono distanti λ/2 ad incidenza normale; la
riflettivit� pu� tendere all�unit� se lo spazio interplanare � privo di assorbimento
anche se i piani reticolari sono assorbenti. Questo perch� i piani atomici sono posti
nei nodi dell�onda stazionaria; per uno strato con spessore ottico nd
ass.
<<λ la
riflettivit� � proporzionale al quadrato dello spessore
2
.ass
2
0
2
0
d
kd2
Rdn
~
2
exp1RR ≈≈
−−∝
λ
π
λ
π
(2.18)
mentre l�assorbimento � proporzionale al cubo dello spessore
()
∫∫
+
−
+
−
≈≈∝
2/d
2/d
2/d
2/d
3
.ass
2
0
ddzzkIdzzkIA (2.19)
d
A
B
C
ki kr
θ
quindi l�assorbimento decresce pi� velocemente della riflettivit� e le perdite possono
essere rese arbitrariamente piccole se lo spessore d
ass.
→0.
2.4 Disegno del multistrato
Per un multistrato � necessario fare un compromesso: per una struttura a λ/4 saranno
pochi gli strati che contribuiscono alla riflettivit� totale a causa dell�assorbimento,
d�altra parte una struttura tipo cristallo di Bragg con assorbitore di spessore
infinitesimo e spaziatore di spessore λ/2 l�interferenza costruttiva sar� largamente
distorta. Da cui risulta che la struttura migliore � quella per cui le onde riflesse dai
periodi si sommano in fase ma l�interferenza non � perfettamente costruttiva �cio� la
differenza di fase non � un multiplo di 2π - poich� l�assorbimento deprime l�ampiezza
delle onde propagatesi nel mezzo e quindi la dimensione del periodo ottimale �
sempre inferiore a quella che si avrebbe in assenza di assorbimento.
Da questa discussione risulta che periodo (Λ) e spessori dei due materiali, espressi
dal parametro Γ, vanno scelti in modo oculato per massimizzare la riflettivit� di un
multistrato con N periodi. La scelta di questi parametri sar� discussa nel capitolo 3.
Si supponga ora di incidere sul multistrato con radiazione di λ molto minore del
periodo (λ≈0.1 nm) ad angolo radente e che l�assorbimento sia trascurabile.
Introducendo l�angolo radente
φ
π
θ −=
2
(2.20)
dall�equazione (2.16) valida per basse riflettivit� alle interfacce si ha che
πθ
λ
π
Φ msendn
2
111
=
= (2.21)
corrisponde a condizioni di interferenza critiche (si hanno i massimi e minimi di
Kiessig). Dalla (2.20) e dalla (2.11) per una interfaccia tra il mezzo e il vuoto
11
cosncos θθ =
dove θ e θ
1
sono rispettivamente l�angolo di incidenza e rifrazione e dunque
()δθθθ 2sencosnsenn
222
111
−=−= (2.22)
e trascurando i termini quadratici (ipotesi δ <<sen
2
θ) abbiamo
()
−≅−=
θ
δ
θ
λ
π
θ
δ
θ
λ
π
Φ
2
1
2
1
sen
1send
2
sen
2
1send
2
(2.23)
passando ad una struttura periodica costituita dalla ripetizione di 2 strati
21
ddd +=
d
dd~
2211
δδ
δ
+
=
()
−+
−=
=+=+=
θ
δ
θ
δ
θ
λ
π
θθ
λ
π
ΦΦΨ
2
2
22
2
1
11
22211121
sen
dd
sen
ddsen
2
senndsennd
2
2.24)
e dunque
−=
θ
δ
θ
λ
π
Ψ
2
sen
1send
2
(2.25)
che eguagliata a πm, d� la relazione dei picchi di Bragg
λ
θ
δ
θ m
sen
1send2
m
2
m
=
− (2.26)
nota come �legge di Bragg dispersiva�.
In generale la presenza dell�indice k tende a ridurre lo spostamento del picco rispetto
alla (1.5), anche se di poco.
Le ipotesi per cui vale la (2.26)(k≈0, sen
2
θ >> δ e basse riflettivit�) si possono
verificare nell�analisi al XRR (riflessione di raggi X ad angolo radente) in cui un
raggio monocromatico e a λ corta -tipicamente la K
α
del rame λ =0.154 nm- incide ad
angolo radente sulla superficie del multistrato; questa ed altre relazioni vengono
impiegate per ricavare dal XRR importanti informazioni sulla struttura reale del
multistrato ottenuto.
La struttura che ottimizza il picco di riflettivit� non � periodica ma quasi periodica:
passando dal substrato al vuoto lo spessore dell�assorbitore diminuisce sempre di pi�
mentre lo spessore dello spaziatore aumenta. Nel capitolo 3 sar� presentata una
simulazione per un multistrato di questo tipo.
2.5 Strutture reali
2.5.1 Problemi che limitano la riflettività
Come introdotto nel 1� capitolo le imperfezioni dei multistrati reali sono distinte in 2
categorie:
1) Rugosit� e interdiffusione
2) Errori sulla periodicit� del multistrato:
Per quanto riguarda il 1� punto il fenomeno pu� essere modellizzato tramite fattori di
Debye-Waller.
Introduciamo la variabile
φ
λ
π
cosn
~
4
q = (2.27)
che rappresenta il momento trasferito al fotone in una riflessione speculare;
considerando il modello vettoriale
∑
=
−=
M
0h
hhq
)iqzexp()z(rr (2.28)
L�equazione (2.17) pu� essere letta, nell�ipotesi in cui n
~
vari molto lentamente con
z, come una serie di Fourier.
Nel caso in cui r sia una funzione continua di z otteniamo la trasformata di Fourier
() ( )
∫
∞
−=
0
dziqzexpzr)q(r (2.29)
e la trasformata inversa.
() () ( )
∫
∞
=
0
dqiqzexpqr
2
1
zr
π
(2.30)
Si pu� definire la rugosit� come una grandezza indicativa della imperfezione di una
superficie che si suppone posta parallela alla superficie del substrato a distanza z da
esso. I singoli punti della superficie si troveranno a quote diverse in generale da
quella nominale z. Supponendo che la distribuzione sia gaussiana, la deviazione
standard σ diventa un parametro quantitativo della rugosit� e possiamo introdurla
nell�espressione dei coefficienti di riflessione
()
−=
2
2
0
2
z
exp
2
r
zr
σ
πσ
(2.31)
si ottiene con la trasformata, integrando da ∞− a ∞+
()
−=
2
q
exp)q(rqr
22
0
σ
(2.32)
dove r
0
indica la riflettivit� per un contorno ideale (netto e liscio). In modo del tutto
analogo si pu� esprimere l�effetto dell�intediffusione; per questa imperfezione di
interfaccia il 3σ rappresenta una buona stima dello spessore interdiffuso.
Il σ complessivo dei due fenomeni si pu� esprimere come:
2
r
2
i
2
σσσ += (2.33)
con σ
i
riferito all�interdiffusione e σ
r
riferito alla rugosit�.
La riduzione della riflettivit� stimata dal fattore di Debye-Waller rappresenta una
buona approssimazione sia per la rugosit� con scarto quadratico medio σ [5] che per
una transizione graduale di spessore medio σ [6]: in sostanza descrive l�effetto della
rugosit� che comporta un aumento della radiazione diffusa e l�effetto
dell�interdiffusione che comporta un aumento della radiazione trasmessa. Il fattore di
D.W. pu� essere usato nel calcolo e nelle simulazioni della riflettivit� moltiplicando i
coefficienti di Fresnel di ogni interfaccia per
)2/qexp(F
22
.w.d
σ−= (2.34)
Con l�uso della (2.34) nella (2.14) si assume che l�imperfezione sia data
dall�interdiffusione, mentre la (2.34) nella (2.13) considera l�effetto della rugosit�
(vale a dire non cambiano i coefficienti t); in sostanza per� l�impiego delle due
relazioni � praticamente indistinguibile.
2.5.2 Rugosità e interdiffusione dei materiali
La rugosit� delle superfici dipende dalle caratteristiche intrinseche dei due materiali
utilizzati, dall�interfaccia che essi formano, dal substrato di partenza e dipende anche
dalle condizioni sperimentali di deposizione, per questo motivo in fase di messa a
punto dello strumento di deposizione si devono cercare le condizioni che riducono al
minimo la rugosit�.
La diffusione reciproca degli atomi di un materiale nell�altro � un fenomeno che pu�
consistere nella gradualit� della transizione da un materiale all�altro, ma, se assistito
da una reazione chimica, nella formazione di uno strato di transizione. Il cammino
ottico viene alterato sia per un cambiamento delle costanti ottiche lungo il profilo del
multistrato, sia per una variazione del periodo e questo si esplica in una migrazione
del picco di riflettivit�.
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