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1.1 BOBINE DI HELMHOLTZ E PRESTAZIONI DEI SISTEMI
DI GENERAZIONE DEL CAMPO MAGNETICO
Hermann von Helmholtz nel 1849 costruì il primo dispositivo in grado di
creare un campo magnetico uniforme. Le bobine di Helmholtz (Fig.1) sono una
coppia di bobine con alcune caratteristiche particolari:
ξ hanno entrambe raggio R
ξ hanno una spessore L molto più piccolo del raggio R
ξ sono disposte in modo che gli assi di simmetria delle due bobine siano
coincidenti
ξ hanno lo stesso numero N di avvolgimenti
ξ sono elettricamente collegate in serie, in modo che il verso di
percorrenza delle due correnti sia lo stesso.
Figura 1: Bobine di Helmholtz
Come si vedrà in seguito, un sistema costituito da due bobine circolari richiede
una precisione nella realizzazione dei telai estremamente elevata per evitare
errori di mal condizionamento del sistema che portano alla riduzione repentina
della regione di uniformità.
Negli anni successivi al 1849 il problema di generare un campo magnetico
uniforme ebbe un’importanza sempre maggiore, finché con l’avvento dell’era
spaziale assunse un ruolo determinante nella fase di simulazione a terra del
comportamento dei satelliti in orbita.
Come detto il caso di due bobine circolari fu descritto alla metà del
diciannovesimo secolo (Helmholtz 1849, Neumann 1884). L’uniformità del
campo in un sistema di questo tipo non è sufficiente nella maggior parte delle
applicazioni, infatti l’area di lavoro per una data omogeneità è troppo piccola
(Bock 1929, Everett e Osemeikhian 1966). Ci sono stati una serie di tentativi
per migliorare questa situazione con l’aggiunta di più bobine (Maxwell 1854,
Fanselau 1929, 1933, Braunbek 1934, McKeehan 1936, Sauter 1944, Lee-
Whiting 1957). E’ facile infatti capire che l’aumento dei parametri indipendenti
disponibili rende possibile un miglioramento di alcuni ordini di grandezza.
9
Molti dei lavori svolti impongono limitazioni su alcune variabili, per esempio
sulla corrente che si assume essere la stessa in tutte le bobine, oppure sulla
geometria del sistema. Queste limitazioni non permettono di ottenere,
ovviamente, l’ottimo per l’uniformità. Lee-Whiting fu il primo ad analizzare il
problema senza restrizioni di alcuna sorta, e ad arrivare a una soluzione
generale del problema. Usando il metodo di Lee-Whiting per un sistema di
bobine circolari è possibile ottenere delle buone uniformità per un volume
sferico di raggio pari a 0.4 volte il raggio della bobina considerata.
Quando sono richiesti campi uniformi di volume elevato (1 ��3 o più), la
costruzione di bobine circolari estremamente precise è molto complicata
soprattutto se non si è in possesso di macchinari adeguati. Per questo molti
autori hanno trattato la possibilità di utilizzare bobine quadrate (Lyddane e
Ruark 1939, Rubens 1945, Heller 1955, Lee-Whiting 1957, Firester 1966).
Ad esempio già nel 1945 da Sidney M. Rubens considerò un sistema formato
da cinque bobine quadrate equispaziate, trovò una soluzione lavorando
direttamente sulle equazioni del campo e si pose già il problema
dell’accessibilità per introdurre un ipotetico oggetto al centro del sistema, dove
per ragioni ovvie, veniva generato il campo uniforme (si notò infatti una
grande uniformità soltanto in una piccola regione vicina al centro del sistema).
Il valore della deviazione percentuale che egli trovò è riportato in Fig.2, dove
�� è la distanza di un punto misurato lungo l’asse centrale del sistema e �� la
distanza dall’asse, perpendicolare a una delle facce del cubo che viene formato
dalle 5 bobine considerate.
Figura 2: [Ref.1] Uniformità del campo assiale sul piano z=0. Ogni curva è riportata rispetto
alla linea che si ottiene sull’asse delle bobine. I punti su ogni curva, per i quali la
deviazione percentuale è zero sono cerchiati. Ogni linea è egualmente spaziata dalla
successiva di una deviazione dell’1%.
In Fig.2 si può osservare la deviazione percentuale sul piano �� = 0. Il valore di
��/(��/2) indica la distanza dall’asse alle linee lungo le quali viene calcolata la
deviazione.
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Si può quindi notare una deviazione che cresce man mano che ci si allontana
dal centro del sistema, unica zona in cui si ha una buona uniformità del campo.
Lee-Whiting (1957) considerò l’analisi per un sistema composto da quattro
bobine quadrate utilizzando un metodo numerico.
Heller ottenne invece una soluzione completa per un sistema formato da una
coppia di bobine quadrate analoga alla coppia considerata da Helmholtz,
includendo l’analisi di uniformità, uno studio poi ripetuto da Firester.
Lo stesso Heller postulò che un sistema di bobine quadrate avrebbe potuto dare
un volume di uniformità molto maggiore di quella dato da un sistema di bobine
circolari aventi diametro pari al lato.
Firester nel 1966 studiò un sistema costituito da quattro bobine quadrate, in
quanto per esperimenti di risonanza e ottica bisognava considerare dei volumi
di prova per il campo magnetico che potevano essere forniti soltanto da questi
sistemi.
Si riportano in Fig.3 e in Fig.4 le curve della deviazione rispetto al campo
considerato sull’asse. Il sistema di coordinate usato nel plot del campo, è
cartesiano (��,��, ��), con �� e �� assi paralleli ai lati delle bobine, e ��
perpendicolare ai piani individuati dalle bobine e passante per i centri.
Figura 3: [Ref.2] Curve della deviazione rispetto al campo calcolato sull’asse sul piano X-Y
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Figura 4: [Ref.2] Curve della deviazione rispetto al campo calcolato sull’asse sul piano Y-Z.
Ө indica che il campo,in quella zona, è minore del campo nell’origine. ⊕ indica che il
campo in quella zona è più grande di quello nell’origine
Si citano inoltre Merritt, Purcell e Stroink che nel 1983 studiarono
analiticamente sistemi di bobine formati rispettivamente da tre, quattro e
cinque bobine quadrate trovando la distanza a cui porle per ottenere un ottimo
per l’uniformità lungo l’asse.
Gli stessi studiarono la deviazione percentuale rispetto al campo calcolato
sull’asse, così come aveva già fatto Rubens per un sistema composto da cinque
bobine, per i sistemi composti da tre e quattro bobine quadrate individuando i
risultati riportati in Fig.5 e 6.
Figura 5: [Ref.7] Uniformità del campo sull’asse sul piano z=0 per un sistema costituito da
tre bobine quadrate
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Figura 6: [Ref.5] Uniformità del campo sull’asse sul piano z=0 per un sistema costituito da
quattro bobine quadrate.
Si nota quindi come la deviazione dal campo sull’asse, che si ottiene per un
sistema costituito da quattro bobine, sia minore di quella che si ha per un
sistema di tre bobine quadrate.
La discussione svolta ha un carattere descrittivo riguardo all’evoluzione storica
delle diverse realizzazioni, ognuna con obbiettivi diversi, dettati
dall’applicazione particolare.
La definizione rigorosa delle prestazioni di un generatore di campo magnetico
ad elevata uniformità spaziale per la prova a terra di sistemi di controllo
d’assetto per satelliti, o più semplicemente “simulatore magnetico”, sarà data
nel paragrafo seguente.
13
1.2 GENERAZIONE CAMPI MAGNETICI PER LA PROVA A
TERRA DI SISTEMI DI CONTROLLO D’ASSETTO
Lo studio che sta per essere intrapreso, ovvero realizzare è un sistema formato
da un certo numero di bobine, deve considerare l’uniformità non sull’asse,
come fa lo studio analitico, che è stato accennato sopra e verrà affrontato nel
dettaglio in seguito, ma su un volume di prova sferico, e inoltre, la deviazione
del campo rispetto alla condizione di ottimo (ovvero campo diretto come l’asse
delle bobine).
Questo porta ad affermare che la condizione di ottimo trovata sull’asse potrà
essere un punto di partenza per l’analisi, ma dovrà essere verificata nell’intero
campo d’interesse. In particolare sarà ricercato l’ottimo dei parametri di
disuniformità del modulo e di deviazione massima su un volume sferico e su
una superficie sferica al variare della posizione delle bobine.
I parametri che definiscono l’uniformità del campo magnetico riguardano sia il
modulo che la direzione. Indicando con il pedice z la direzione dell’asse delle
bobine e con x e y due direzioni ortogonali nel piano della bobina, la
disuniformità nella direzione del campo può essere espressa dall’angolo di
deviazione rispetto all’asse di simmetria della bobina:
������(��,��, ��) = tan−1 ���� ∙����+���� ∙����
����
(1.1)
Da ciò si ricava una funzione per la deviazione in ogni punto. Le prestazioni
globali possono essere espressi dal massimo di questa all’interno della zona
d’interesse.
Per quanto riguarda la disuniformità del modulo nella zona d’interesse verrà
valutata considerando i valori del modulo, calcolato come:
������(��,��, ��) = ���� ∙ ���� + ���� ∙ ���� + ���� ∙ ���� (1.2)
e calcolandone il massimo, il minimo e la media, si considera la disuniformità
come:
�������������� = max ������ −min ������ mean (������ ) (1.3)
Per completezza nella trattazione verrà considerata anche la posizione della
deviazione massima, e del valore minimo e massimo del modulo sulla sfera per
capire quali siano le zone da evitare in una eventuale simulazione.
I requisiti di progetto sono ������(������)~0.1° e �������������� < 1%.
Per scegliere il sistema di bobine adeguato si considera, nel Cap. 2, lo studio
analitico, in [Ref.8], che analizzando un sistema formato da due bobine
circolari mostra come questo sia fortemente legato alla precisione della
realizzazione dei telai, e quindi si preferisca realizzare un sistema di bobine
quadrate o ottagonali.
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CAPITOLO 2
SCELTA DEI PARAMETRI GEOMETRICI
CON CRITERI ANALITICI SEMPLIFICATI
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2.1 BOBINE CIRCOLARI
Le azioni di natura magnetica date dall’ambiente esterno sul satellite in orbita
sono estremamente rilevanti per l’analisi dell’assetto[A.1]. Si ha quindi
l’insorgere di coppie che ovviamente rappresentano dei disturbi, ma che se ben
studiati possono consentire la realizzazione di sistemi per l’acquisizione ed il
mantenimento dell’assetto attraverso opportuni attuatori magnetici.
E’ quindi chiaro come ci sia la necessità di verificare il corretto
dimensionamento degli attuatori di bordo e valutare il momento magnetico
totale del satellite (sia il dipolo di bordo che il dipolo residuo).
Approcciarsi al problema sperimentalmente permette la realizzazione di un
simulatore magnetico, cioè una camera in grado di ricreare a terra le condizioni
magnetiche che il satellite incontrerà in orbita in modo da poterne verificare il
comportamento.
La generazione di campi magnetici molto uniformi è limitata a terra dal fatto
che la zona di uniformità debba essere accessibile per l’inserimento del
satellite. Proprio per questo motivo le bobine elettriche che si considerano sono
avvolte in aria, ovvero non fanno uso di nessun mezzo altamente permeabile
che potrebbe amplificare il campo e le sue caratteristiche di prova.
Una singola spira circolare genera un campo magnetico che pur presentando
buoni valori d’uniformità nel piano della spira, varia con l’inverso del quadrato
della distanza dal piano. Questo ci fa capire che le dimensioni della spira, per
ottenere regioni uniformi di pochi centimetri, sarebbero proibitive. La
simmetria assiale del campo magnetico generato da una spira circolare ci
consente di impostare un modello di analisi del campo generato che risulta
generalizzabile a sistemi formati da più bobine e ci permette di fissare i
parametri geometrici tra le varie bobine per ottenere un prefissato livello di
omogeneità del campo. Nel seguito sarà sviluppato un modello valido per una
spira circolare, ma si utilizzerà il termine bobina per indicarla in quanto si fa
riferimento a bobine il cui avvolgimento presenta spessori di qualche percento
rispetto al raggio della bobina stessa.
Si è visto [A.1] che un problema di magnetostatica viene descritto attraverso la
funzione potenziale che soddisfa l’equazione di Laplace:
∇2�� = 0 (2.1)
Questa equazione, espressa in coordinate sferiche, ammette la soluzione
rappresentata dallo sviluppo in serie di potenze:
�� = − 1
��
������
������(cos��)∞��=1 (2.2)
nella quale le variabili r e �� individuano il punto in cui si vuole valutare il
campo. Si nota che nell’espressione precedente si è tenuto conto della
simmetria assiale del campo generato dalle bobine circolari (infatti figurano
solo armoniche zonali). Le condizioni al contorno si impostano dicendo che la
(2.2) deve coincidere con l’espansione in serie di Taylor del potenziale scalare
magnetico della bobina circolare lungo l’asse:
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������ =
1
�� !
��0
(��)����∞��=1 (2.3)
Figura 7: Sistema di coordinate sferiche
Considerando il sistema di coordinate sferiche rappresentato in Figura 7, si
ottiene la relazione che fornisce il potenziale scalare magnetico generato da
una bobina circolare costituita da N spire in un punto dell’asse:
��0 = −
����
2
(1− cos����) (2.4)
Nei polinomi di Legendre si usa porre cos�� = ��, e quindi si può sviluppare la
serie di Taylor come:
������ = ��0 −
����
2
1
�� !
��(�� )����
������
��0
∙ ���� (2.5)
A questo punto si assume ��0 = 0, si tiene conto della proprietà dei polinomi di
Legendre per cui
��(�� )����
������
���� = (1− ����2)����′ (con ����′ =
������
����
) e la precedente
relazione può essere riscritta come:
������ = −(1− ����2)
��
2
1
��
��
����
��
����′(����)∞��=1 (2.6)
L’espressione dei coefficienti ���� nel caso della spira circolare, presenti nella
(2.2), si ottengono per confronto della stessa con la (2.6):
���� = (1− ����2)
��
2
1
����
��
����′(����) (2.7)
La componente del campo diretta lungo l’asse della spira si ottiene derivando
l’espressione del potenziale e tenendo conto della seguente proprietà dei
polinomi di Legendre per cui ��
����
�������� = ������−1����−1. Si ha quindi:
���� = ����+1�������� cos�� ∞��=0 (2.8)
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Ponendo il centro della spira nell’origine del riferimento descritto dalla figura
1, cioè cos���� = 90° → ���� = 0, si ha che la (2.8) conterrà soltanto i termini
pari (essendo ���� 0 = 0 per n dispari). Perciò il campo magnetico presenta al
grado zero le armoniche di ordine pari che si sovrappongono al termine
costante. E’ ovvio che l’armonica predominante è quella di ordine 2 a cui è
associato l’andamento spaziale descritto dal polinomio di Legendre dello stesso
ordine:
��2 �� =
1
2
(3��2 − 1) (2.9)
Consideriamo i punti dello spazio in cui questo contributo si annulla. E’
immediato ricavare dalla relazione precedente che questi punti giacciono sul
cono con vertice nel centro della spira e semi apertura:
���������� = cos−1
1
3
(2.10)
Figura 8
La caratteristica appena descritta fu utilizzata per molti anni nella calibrazione
dei galvanometri, in quanto imponendo che l’ago giacesse sul cono si
conosceva esattamente il valore del campo (��0) da cui, noto il valore del
momento di dipolo dell’ago, si otteneva il valore del momento meccanico che
agiva sulla molla di torsione (�� = �� × �� 0). Fu in seguito rilevato da Gaugain
che se l’ago di un galvanometro era polarizzato in maniera simmetrica e posto
nell’origine del riferimento visto in figura 1 e la spira si trovava in ���� =
1
5
,
qualunque posizione angolare assunta dall’ago era di equilibrio. La spiegazione
di questo fenomeno si deve a Bravais il quale constatò che in corrispondenza
della posizione angolare ���� =
1
5
si annullava il termine ��3(�� = 2) nello
sviluppo in serie del campo, cioè ci si poneva in corrispondenza di un punto di
flesso. In queste condizioni ruotando comunque l’ago del galvanometro
l’aumento di coppia della parte che si avvicinava alla spira era compensato
dalla equivalente riduzione della parte che se ne allontanava.
E’ sulla base di queste considerazioni che si può impostare il sistema con due
bobine circolari di Helmholtz. Si intende generare un campo molto uniforme
utilizzando due bobine circolari disposte in posizioni simmetriche rispetto
all’origine (���� ,−����); il campo generato può essere espresso dalla (2.8)
applicando il principio di sovrapposizione, dove nei coefficienti ���� si
sommano i singoli contributi:
18
����+1 = 1− ����2
��
2
1
����
��+1
����+1′�� (����) (2.11)
Per la simmetria del sistema risultano nuovamente nulli i termini dispari.
Inoltre visto che per i termini pari risulta ����′ ���� = ����′ −���� , il coefficiente ��3
si annulla nuovamente nella posizione individuata da ���� =
1
5
. Si può quindi
affermare che, ponendo due bobine circolari identiche sullo stesso asse a una
distanza l’una dall’altra pari a:
�� = 2��
tan ����
= �� (2.12)
con R raggio delle bobine e ���� = cos−1
1
5
, il campo presenta variazioni,
rispetto al valore uniforme, con la quarta potenza della distanza dal centro del
sistema.
Figura 9
I livelli di omogeneità del campo magnetico attorno all’origine sono valutati
assegnando il raggio di una sfera centrata nell’origine entro cui il campo si
discosta di una quantità prefissata dal termine costante. Nel caso in esame il
valore è di solito fissato pari a 10−5. Nell’ottica di realizzare un simulatore di
campo magnetico bisogna comunque compensare le perturbazioni che sono
dell’ordine di decine di gamma nel caso di variazioni regolari, e si riducono a
qualche gamma per le variazioni irregolari. Questo valore è appunto di ordine
10−5 rispetto al valore stazionario del campo.
Il livello di uniformità quindi, viene assegnato individuando la regione attorno
alla centro del sistema in cui risulti:
��−��0
��0
≤ 10−5 (2.13)
Per il sistema di bobine di Helmholtz-Neumann l’espressione del campo può
essere esplicitata:
���� = ����0 − 0.103
����
��5
��4(35 cos4 �� − 30 cos2 �� + 3) +⋯ (2.14)
nella quale il termine uniforme è:
19
����0 = 0.716
����
��
(2.15)
Imporre la condizione di uniformità (2.13) equivale a verificare la seguente
relazione:
0.144
��
��
4
(35 cos4 �� − 30 cos2 �� + 3) ≤ 10−5 (2.16)
Che consente di determinare la regione dello spazio individuata da:
��
��
≤ 10
−5
0.144(35 cos 4 ��−30 cos 2 ��+3)
4
(2.17)
Considerando il valore massimo del termine trigonometrico
(35 cos4 �� −30 cos2 �� + 3) = 8, si ha:
��
��
≤ 0.0543 (2.18)
Si è quindi determinata una sfera, centrata nell’origine del sistema e di raggio
pari a circa il 5.5% del raggio delle bobine, in cui il campo magnetico presenta
un livello di uniformità di 10−5, ovvero il campo varia di un fattore 10−5
rispetto al termine costante ����0.
Figura 10: Sezione della superficie di uniformità
In Fig.10 viene rappresentata una sezione della superficie di uniformità
individuata dalla (2.17) e la sezione della sfera individuata dalla (2.18).
Quest’ultima è quella che individua la ragione regolare dello spazio in cui il
campo mantiene il livello di uniformità prefissato.
L’ampiezza della regione di uniformità può essere aumentata utilizzando un
numero maggiore di bobine (3 o 4); sistemi di questo tipo introducono nel
problema un numero di gradi di libertà maggiore, ovvero di parametri
geometrici ed elettrici che, opportunamente scelti, consentono di annullare i
termini di ordine superiore che compaiono nell’espansione in serie del campo
magnetico. Se adottiamo un sistema simmetrico costituito da tre bobine
circolari (detto sistema di Maxwell) è possibile annullare il termine del quarto
ordine (ovvero ��5) che compare nell’espressione del campo.
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