Simulazione di variabili aleatorie e riduzione della varianza

INTRODUZIONE 
INTRODUZIONE 
La teoria della probabilità è uno strumento matematico utile per lo studio dei 
cosiddetti fenomeni aleatori, che sono fenomeni complessi o di difficile 
modellizzazione, il cui esito non è prevedibile a priori con certezza, ma che 
tuttavia presentano una qualche forma di regolarità; per questo motivo, il 
comportamento di tali fenomeni può essere descritto solo attraverso opportune 
grandezze globali o medie. 
Idealmente, questo testo potrebbe essere utile per coloro che sono interessati 
principalmente alla formulazione di un modello stocastico (casuale) che descriva 
un tale fenomeno reale. In questa prospettiva si usa di solito fare un 
compromesso tra la scelta di un modello che è una replica realistica del fenomeno 
oggetto di studio e la scelta di un modello la cui analisi matematica è trattabile. 
Analoghe considerazioni hanno portato a ritenere appunto la teoria della 
probabilità particolarmente adatta per essere applicata a questo approccio, vale a 
dire, per cercare di modellare il fenomeno il più fedelmente possibile e poi fare 
affidamento su uno studio di simulazione per analizzarlo. 
Dopo alcuni preliminari, si mostra dunque come analizzare un modello 
attraverso l’uso di uno studio di simulazione. In particolare, dobbiamo prima 
vedere come un computer può essere utilizzato per generare numeri casuali 
(precisamente, pseudocasuali) e di conseguenza come questi numeri casuali 
possono essere impiegati per generare i valori di variabili aleatorie aventi 
distribuzioni arbitrarie. Utilizzando il concetto di eventi discreti, si mostra come 
utilizzare tali variabili aleatorie per simulare il comportamento di un modello 
stocastico nel tempo. Successivamente, generando continuamente il 
comportamento del sistema mostreremo come ottenere degli stimatori per le 
quantità di interesse desiderate. Infine, discutiamo vari metodi per aumentare la 
precisione delle stime di simulazione, riducendo la loro varianza. Questo è un 
tentativo di migliorare lo stimatore dell’usuale simulazione.
INTRODUZIONE 
In aggiunta, siccome è estremamente importante sia capire che applicare la 
teoria, molti esempi sono elaborati in tutto il testo per chiarire e risolvere nella 
pratica i concetti che hanno particolare enfasi.  
L’organizzazione del testo si articola in 3 capitoli più l’Appendice A come 
segue:  
Nel Capitolo 1 si introducono i concetti basilari della teoria della probabilità 
condizionata e dell’aspettazione condizionata. Dopo aver fornito le definizioni 
preliminari si presentano anche le proprietà elementari di tali concetti 
illustrandone l’utilità. Il “condizionamento”, infatti, è uno degli strumenti 
fondamentali della teoria della probabilità, in quanto, se correttamente utilizzato, 
spesso ci permette di risolvere facilmente problemi che a prima vista sembrano 
molto difficili. In particolare, nei vari paragrafi viene presentato il suo utilizzo per 
il calcolo delle aspettazioni, della varianza e delle probabilità stesse. 
Il Capitolo 2 si occupa della simulazione, un potente strumento per l’analisi 
dei modelli stocastici che sono analiticamente intrattabili. Prima di iniziare questo 
argomento, vengono introdotte due applicazioni della simulazione a problemi di 
tipo combinatorio. A questo punto, al fine di rendere il modello di simulazione più 
realistico, si mostra come generare numeri casuali che seguono una determinata 
distribuzione teorica o empirica. Per questo vengono discussi metodi generali e 
speciali per la simulazione di variabili aleatorie continue e discrete. In particolare, 
si evidenziano: 
 Il metodo della trasformazione inversa, che costituisce una delle tecniche 
più comunemente utilizzate ed è applicabile ai soli casi in cui la funzione di 
densità cumulativa può essere invertita analiticamente. 
 Il metodo del rigetto, che si utilizza invece solo in assenza di altri metodi, 
ossia è molto utile quando la funzione cumulativa non è nota o non è 
analiticamente invertibile e la sua efficienza risulta dipendente dalla forma 
di     . 
Dopo aver fornito una definizione formale, per ognuna delle tecniche si 
introducono vari esempi che mostrano come tale problemi si caratterizzano 
statisticamente.
INTRODUZIONE 
Il Capitolo 3 tratta il tema della riduzione della varianza, estremamente 
importante in uno studio di simulazione, perché può sostanzialmente migliorare 
la propria efficienza. Di conseguenza, siamo portati a considerare alcuni metodi 
per ottenere nuovi stimatori che sono miglioramenti degli stimatori dell’usuale 
simulazione, in quanto hanno stessa media e varianza ridotta. Il capitolo inizia 
con l’introduzione della tecnica che utilizza le variabili antitetiche. Prendiamo atto 
(con una dimostrazione rimandata in Appendice A) che questa comporta sempre 
una riduzione della varianza con un risparmio di calcolo, quando stiamo 
cercando di stimare il valore atteso di una funzione che è monotona in ciascuna 
delle sue variabili. La sottosezione 3.2, invece, si occupa della riduzione della 
varianza esaminando un approccio utile basato sull’utilizzo delle aspettazioni 
condizionate. Come applicazioni vengono illustrati la stima di   e l’analisi dei 
sistemi a coda. Nella sezione finale si introduce la tecnica delle variabili di 
controllo e si illustra la loro utilità sempre in termini di riduzione della varianza. 
Per esempio, mostriamo come questa tecnica può essere efficacemente utilizzata 
per analizzare un problema di riordino di una lista, e il gioco del blackjack.
Capitolo 1: PROBABILITÀ E ASPETTAZIONI CONDIZIONATE 
Capitolo 1 
PROBABILITÀ E ASPETTAZIONI CONDIZIONATE 
In questo capitolo si affrontano due argomenti fondamentali della teoria della 
probabilità: la probabilità condizionata e l’aspettazione condizionata. In analogia 
alla probabilità condizionata, che è un’importante legge di probabilità, esistono le 
distribuzioni di probabilità condizionata, che consentono di approfondire le 
relazioni esistenti tra le variabili aleatorie e gli eventi dello spazio campione su cui 
esse sono definite, nonché le relazioni esistenti tra le variabili aleatorie stesse.  
Il punto di partenza delle nostre considerazioni sarà dunque il concetto di 
probabilità condizionata che rappresenta uno dei concetti più utili insieme 
all’aspettazione condizionata. Il motivo è duplice. In primo luogo perché, nella 
pratica, siamo spesso interessati a calcolare le probabilità e le aspettazioni 
quando sono disponibili alcune informazioni parziali; di conseguenza, le 
probabilità e le aspettazioni desiderate sono quelle condizionali. In secondo luogo 
perché, nel calcolare le probabilità e le aspettazioni desiderate è spesso 
estremamente utile per prima cosa “condizionare” su alcune variabili casuali 
opportune. 
Ricordiamo che per ogni due eventi   ed  , la probabilità condizionata di   dato 
  è definita, a condizione che       , da  
       
     
    
 
Quindi, nel caso in cui   e   sono variabili aleatorie discrete, allora è naturale 
definire la funzione di massa della probabilità (densità discreta) condizionata di  , 
dato    , come
Capitolo 1: PROBABILITÀ E ASPETTAZIONI CONDIZIONATE 
per tutti i valori di   tali che         . Allo stesso modo, la funzione di 
ripartizione della probabilità condizionata di   dato     è definita, per tutti gli   
tali che         , come 
 
   
                   
   
     
   
 
Infine, l’aspettazione condizionata di   dato che     è definita da 
                        
 
 
   
     
 
 
In altre parole, le definizioni sono esattamente uguali a quelle del caso non 
condizionato con l’eccezione che ora tutto è condizionato (subordinato) alla 
manifestazione dell’evento    . Un caso particolare è quando   è indipendente 
da  , nel quale la funzione di massa condizionata, la distribuzione e le 
aspettazioni sono le stesse del caso incondizionato. Ciò deriva, dal fatto che se   è 
indipendente da  , allora  
 
   
                        
Esempio 1.1 Supponiamo che       , la funzione di massa della probabilità 
congiunta di   ed  , è data da: 
              
              
              
              
Calcolare la funzione di massa della probabilità condizionata di   dato che    . 
Soluzione: innanzitutto notiamo che  
        
 
                             
 
 
Quindi,  
 
   
                 
          
      
 
      
 
 
   
 
 
 
 
Analogamente,
Capitolo 1: PROBABILITÀ E ASPETTAZIONI CONDIZIONATE 
 
   
                 
      
 
 
   
 
 
 
 
Esempio 1.2 Se  
 
 e  
 
 sono variabili binomiali indipendenti di parametri 
rispettivamente   
 
    ed   
 
   ; calcolare il valore atteso condizionato di  
 
 dato 
che  
 
  
 
  . 
Soluzione: Calcoliamo dapprima la funzione di massa della probabilità 
condizionata di  
 
 dato che  
 
  
 
  . Considerando      , 
   
 
    
 
  
 
    
   
 
    
 
  
 
   
   
 
  
 
   
 
   
 
    
 
     
   
 
  
 
   
 
   
 
      
 
     
   
 
  
 
   
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
   
  
   
 
 
 
    
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
  
 
  
 
dove abbiamo usato il fatto che  
 
  
 
 è una variabile binomiale con parametri 
  
 
  
 
   . Perciò, la funzione di massa della probabilità condizionata di  
 
 dato 
che  
 
  
 
  , è: 
   
 
    
 
  
 
    
 
 
 
 
  
 
 
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
La distribuzione descritta da quest’equazione è nota come distribuzione 
ipergeometrica. (E’ la distribuzione del numero di palline blu che sono scelte 
quando un campione di   palline è scelto casualmente da un urna che contiene 
 
 
 palline blue ed  
 
 palline rosse). Di conseguenza si ottiene che: 
   
 
  
 
  
 
     
 
 
 
 
  
 
 
Analogamente, nel caso continuo, ricordiamo che se   e   hanno una funzione 
di densità di probabilità congiunta       , allora la funzione di densità della 
probabilità condizionata di  , dato che    , è definita per tutti i valori di   tali 
che  
 
     , come 
 
   
      
      
 
 
   
 
Per motivare questa definizione, moltiplichiamo a sinistra per    e a destra per 
          per ottenere