Studio teorico numerico del comportamento dinamico e delle proprietà di stabilità di un autoveicolo a quattro ruote

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comportamento direzionale nelle varie condizioni di utilizzo; nel secondo capitolo 
vengono analizzate le proprietà di stabilità dell’autoveicolo, dapprima in condizioni di 
marcia a velocità costante, poi in condizioni più realistiche di coppia motrice costante. 
Il terzo capitolo pone le basi matematiche per lo studio di stabilità dei sistemi 
parametricamente eccitati, ovvero la teoria di Floquet e quella approssimata basata 
sulla trasformata di Laplace; nel quarto capitolo, infine,  sono presentati i risultati delle 
simulazioni numeriche. 
 
 
  
 
 
 
 
 
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CAPITOLO 1 
 
Dinamica dell'autoveicolo 
 
Nel presente capitolo, a partire dalle equazioni alla base della meccanica 
dell’autoveicolo, verrà costruito un modello semplificato che permetterà di studiarne il 
comportamento direzionale e la stabilità in varie condizioni di utilizzo. 
 
1.1 Considerazioni generali    
 
Nello studio della dinamica dell’autoveicolo si utilizzano i seguenti sistemi di 
riferimento: 
 ξ Sistema di assi suolo XYZ. E’ un sistema di riferimento fisso rispetto alla 
strada, che verrà sempre considerato inerziale, anche se a rigore non è così, 
dato che si muove con la Terra:  gli effetti inerziali causati dal suo moto sono 
talmente piccoli, da poter essere omessi nello studio della dinamica 
dell’autoveicolo. Gli assi X e Y giacciono sul piano stradale, mentre l’asse Z è  
rivolto verso l’alto. 
 ξ Sistema di assi corpo xyz. E’ un sistema di riferimento solidale al veicolo, 
centrato nel suo baricentro. L'asse x giace nel piano di simmetria longitudinale 
e punta in avanti in direzione orizzontale, l’asse z giace nello stesso piano, è ad 
esso perpendicolare e punta verso l’alto e l’asse y è tale da costituire con gli 
altri due un sistema destrorso, ovvero punta verso sinistra se si guarda il 
veicolo dall’alto. 
 ξ Sistema di assi vento x'y'z'. E’ un sistema di riferimento solidale con il veicolo, 
utilizzato nello studio delle forze aerodinamiche e per questo motivo non sarà 
utilizzato in questa sede. E' simile al sistema di assi corpo, con la differenza che 
l'asse x’’ ha la direzione della velocità relativa ����  dell'aria rispetto al veicolo 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
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cambiata di segno. Perciò −����  coincide con la velocità assoluta del veicolo 
solamente se la velocità del vento ����  è nulla.  
 
 
Fig. 1.1 – Sistemi di riferimento per lo studio della dinamica del veicolo. 
 
Per costruire il modello matematico dell’autoveicolo, considereremo una serie di 
ipotesi semplificative. In particolare assumeremo che: 
- il veicolo si muova su strada piana e orizzontale, assimilabile cioè ad un piano 
   geometrico ; 
- non esista nessun sistema di sospensioni; 
- il veicolo sia un corpo perfettamente rigido; 
- gli angoli di sterzo siano piccoli;  
- il sistema di guida sia perfettamente rigido. 
Queste ipotesi consentono di trascurare la presenza di eventuali moti di rollio 
(rotazioni attorno all’asse x) e di beccheggio (rotazioni attorno all’asse y). Gli assi x e y 
sono perciò perfettamente orizzontali e il moto del veicolo è rappresentabile come un 
moto rigido piano, descrivibile con due traslazioni lungo gli assi X e Y e una rotazione 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
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attorno all’asse z, chiamata imbardata, e in cui ogni punto della carrozzeria del veicolo 
si mantiene sempre alla stessa distanza da terra. 
Inoltre queste ipotesi permetteranno di costruire un modello linearizzato, caratterizzato 
da alcuni aspetti che lo renderanno molto utile nello studio della dinamica 
dell’autoveicolo: 
 ξ La notevole semplificazione delle equazioni del moto e quindi la possibilità di 
ottenere soluzioni in forma chiusa, che permettono di raggiungere una 
conoscenza generale del comportamento del veicolo 
 ξ La possibilità di studiare la stabilità usando i comuni metodi della dinamica 
lineare. 
Vi sono però anche ovvi inconvenienti: il modello linearizzato potrà essere applicato 
solamente a casi in cui il raggio della traiettoria è grande rispetto alle dimensioni del 
veicolo e le accelerazioni laterali sono piccole. Ciò corrisponde al normale utilizzo del 
veicolo, ma non a condizioni come la guida sportiva o moti anomali accidentali. 
Inoltre anche l’ipotesi che l’autoveicolo si comporti come un corpo rigido e  non esista 
un sistema di sospensioni, è adatta a descrivere il moto del veicolo se guidato in modo 
tranquillo: in queste condizioni gli angoli di rollio e di beccheggio sono molto piccoli e 
la loro influenza sul comportamento del veicolo può essere trascurata. 
 
1.2 Dall’autoveicolo al modello matematico 
 
Sulla base delle precedenti ipotesi possiamo formulare matematicamente un modello di 
autoveicolo. Una possibile schematizzazione è quella in Fig. 1.2 , in cui viene 
rappresentato come un unico corpo rigido di massa m e baricentro G (in realtà esso 
possiede due ruote sterzanti, la cui massa però viene assunta piccola rispetto al resto 
del veicolo, in modo da non influenzare la posizione di G). Con bal      e t 
indichiamo rispettivamente il passo (wheelbase) e la carreggiata (track) del veicolo 
(per semplicità, carreggiata anteriore e posteriore sono supposte uguali), dove con a si 
è indicato il semipasso anteriore, con b il semipasso posteriore. Tutte le grandezze 
sono misurate rispetto al centro delle ruote. 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
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Fig. 1.2 - Modello di veicolo a tre gradi di libertà 
 
Con GV viene indicata  la velocità assoluta del baricentro (cioè rispetto al sistema di 
assi suolo), ed u e v sono le sue componenti rispetto agli assi x e y del sistema di assi 
corpo: u è detta velocità longitudinale (o di avanzamento) mentre v è la velocità 
laterale del veicolo. Si ha dunque: 
 
jviu ˆˆVG      (1.1) 
 
E’ importante osservare che il baricentro è fermo rispetto al riferimento di assi corpo, 
solidale al veicolo; pertanto la (1.1) non esprime la velocità del baricentro rispetto a 
questo riferimento, ma solo le componenti della velocità assoluta di G. 
Si passa all’individuazione di importanti angoli, utili per la costruzione del modello: 
 l’ angolo di deriva �� ,  determinato dalla direzione della velocità del centro ruota  
rispetto al suo  piano di  simmetria  longitudinale ;  
jvˆ
iuˆ
11 ∆  
 Γ   Γ  
GV
β 
kr ˆ   Ζ  
a 
b 
t 
12 ∆  
21 ∆  22 ∆
G 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
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 l’angolo di assetto �� = arctan(��/��)  compreso tra l’asse longitudinale del veicolo e la 
direzione della velocità del baricentro ����   ; 
 l’angolo di sterzo ��, tra l’asse longitudinale del veicolo e il piano di simmetria 
longitudinale della ruota. 
La sterzatura cinematica è il moto del veicolo su una traiettoria curva determinato dal 
puro rotolamento delle ruote. La velocità dei centri delle ruote è contenuta nel loro 
piano medio e gli angoli di deriva �� sono nulli. In queste condizioni le ruote non 
possono applicare forze trasversali per equilibrare la forza centrifuga. Considerando il 
veicolo in Fig. 1.3, perché la condizione di sterzatura cinematica sia rispettata, l’angolo 
i Γ  della ruota interna alla curva deve essere ovviamente maggiore di quello della ruota 
esterna 
e Γ  secondo le relazioni: 
 
  
2
tan   ,  
2
tan
11
tR
l
tR
l
ei          Γ Γ
 (1.2) 
 
 
 
 
Fig. 1.3 - Sterzatura cinematica. 
e Γ i Γ
R 
t 
b 
l 
1R
C 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
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La (1.2) dovrebbe contenere, al posto della carreggiata t, la distanza tra gli assi di 
sterzatura delle ruote. Eliminando ��1 tra le due equazioni, si ottiene una relazione tra 
gli angoli ����  e ���� : 
 
 
������ ���� − ������ ���� =
��
��
 (1.3) 
 
Un dispositivo che permetta di rispettare questa condizione viene definito sterzo di 
Ackerman, ma nessun dispositivo reale è in grado di seguire questa legge e quindi si 
può definire un errore di sterzatura come la differenza tra il ����  ottenuto realmente, e 
quello calcolabile tramite la (1.3) per un fissato  ���� . 
Comunque, se si considerano piccoli angoli di sterzo, si può supporre 
ei  Γ Γ | . Per 
questo motivo da qui in poi, verranno indicati entrambi con  Γ . Il raggio di curvatura 
della traiettoria del baricentro del veicolo vale 
 
  Γ222212 cotlbRbR          (1.4) 
 
Se quest’ ultimo è grande rispetto al passo del veicolo (che quantitativamente vuol dire 
��1 ≫  ��2 ) la (1.4) si riduce a  
 
�� ≈ �� cot(��) ≈
��
��
 (1.5) 
La (1.5) può essere riscritta come 
 
 1
����
=
1
��
 (1.6) 
 
in cui il primo membro ha un importante significato fisico: è il rapporto della risposta 
del veicolo, in termini della curvatura 1/R della traiettoria del baricentro, e l'input che 
ne è la causa. Esso viene definito guadagno della curvatura della traiettoria e 
rappresenta  una sorta di funzione di trasferimento per il comportamento direzionale 
del veicolo. In condizioni cinematiche esso è dunque uguale al reciproco del passo. 
Un’ altra importante funzione di trasferimento è il rapporto ��/�� che può essere 
definito guadagno dell’angolo di deriva. L’angolo di deriva dell’autoveicolo riferito al 
baricentro, può essere espresso in funzione del raggio di curvatura della traiettoria R 
nella forma 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
9 
 
 
 
�� = ������������  
��
 ��2 + ��2
  (1.7) 
 
da cui, linearizzando e introducendo l’espressione (1.6) si ottiene 
 
 ��
��
=
��
��
 (1.8) 
 
Si può ora procedere alla formulazione matematica del modello mediante tre gruppi di 
equazioni: equazioni di congruenza, equazioni del moto ed equazioni costitutive.  
 
1.3 Equazioni di congruenza per il modello matematico 
 
Gli angoli di deriva 
ij ∆ delle quattro ruote      2,1,   ji  sono determinati univocamente 
dalla velocità del baricentro ����    e dalla velocità di imbardata r, avendo considerato  il 
veicolo come corpo rigido.  Essi possono essere espressi facilmente in funzione delle 
velocità generalizzate. Infatti la velocità del centro dell’orma dell’ i-esima ruota Pi, 
posto nel punto di coordinate xi e yi nel sistema di assi corpo, vale 
 
 �� ���� = �� �� + �� ∧  ���� − ��            (1.9) 
 
L’angolo ����  tra la direzione della velocità del punto Pi e l’asse x è 
 
 ���� = arctan  
����
����
 = arctan  
�� + ������
�� − ������
   (1.10) 
 
Se l’ i-esima ruota ha un angolo di sterzo ��, il suo angolo di deriva vale 
 
 ���� = ���� − ���� = arctan  
�� + ������
�� − ������
 − ����  (1.11) 
 
Ora si considerino le velocità assolute dei centri delle ruote allo scopo di legare gli 
angoli di deriva alla velocità di imbardata r e alle componenti u e v. Dalla Fig. 1.2 si 
nota che i centri delle ruote anteriori hanno velocità trasversale v+ra mentre quelli 
delle ruote posteriori hanno velocità trasversale v-rb; le velocità di avanzamento sono 
pari a �� − ��  ��
2
  sul fianco sinistro e �� + ��  ��
2
  sul fianco destro. Si ottengono così le 
  
 
 
 1 DINAMICA DELL'AUTOVEICOLO 
 
10 
 
quattro relazioni seguenti, dove le prime due si riferiscono alle ruote anteriori, le altre 
due alle ruote posteriori: 
 
2/
)( 
2/
)( 
2/
)( 
2/
)( 
22
21
12
11
rtu
rbv
tg
rtu
rbv
tg
rtu
rav
tg
rtu
rav
tg
  
  
    
  
  
    
  
  
   
  
  
    
 ∆
 ∆
∆ Γ
∆ Γ
 (1.12) 
 
Tenendo presente che in normali condizioni di marcia si ha  si ottiene 
l’importante risultato che le due ruote di uno stesso assale lavorano con angoli di 
deriva quasi uguali. Si può quindi esprimere con 
1 ∆  l’angolo di deriva delle ruote 
anteriori e con 
2 ∆  l’angolo di deriva delle ruote posteriori. Le relazioni (1.12) si 
riducono così a due:  
 
 
u
rbv
tg
u
rav
tg
      
      
)( 
)( 
2
1
 ∆
∆ Γ
 (1.13) 
 
Si noti che nella realtà, da una interpretazione puramente cinematica, in condizioni di 
normale funzionamento l’angolo di deriva della ruota interna alla curva, è leggermente 
superiore a quello della ruota esterna. Ad ogni modo, una ulteriore semplificazione 
delle (1.13) si può effettuare considerando il fatto che la velocità di avanzamento u  è, 
solitamente, ben più elevata della velocità laterale v  e di quelle dovute alla presenza di 
r cioè si ha che rbvuravu    ! !   ! !   e  , ed è  perciò ragionevole approssimare le 
(1.13) ottenendo le equazioni di congruenza linearizzate:  
 
 
u
rbv
u
rav
      
      
2
1
 ∆
 ∆ Γ
 (1.14) 
 
2/tru  ! !