Verifica di algoritmi in tempo reale per la taratura automatica di controllori PID

Introduzione
Il controllo automatico di un dato sistema, che sia un motore, un impianto
industriale o una funzione biologica come il nostro battito cardiaco, si prefig-
ge di modificare il comportamento di quest’ultimo (o meglio delle sue uscite)
attraverso la manipolazione di grandezze identificate come i suoi ingressi.
Nella trattazione focalizzeremo la nostra attenzione su sistemi automatici di
controllo in reatroazione, dove il ruolo di controllore ` e assegnato a regolato-
ri PID. I regolatori PID (detti regolatori ad azione Proporzionale-Integrale-
Derivativa)rappresentanocertamenteunadelleclassidireticorrettricilineari
in retroazione maggiormente utilizzate in ambito industriale. Il motivo della
loro preferenza ` e da imputare sicuramente alla semplicit` a della loro struttu-
ra, che li rende pratici sia da realizzare (con l’impiego di soli amplificatori
operazionali, resistenze e capacit` a), sia da mettere a punto per il controllo
di un’ampia gamma di processi. Le prestazioni che ci pu` o garantire un re-
golatore PID dipendono fortemente dalla qualit` a della sintonizzazione dello
stesso, che si riassume nella scelta, ottima o meno, di certi parametri che lo
costituiscono: tale operazione prende anche il nome di taratura.
ImetodiusatipertarareunregolatorePIDsonomolteplici: perfissareleidee
mi permetto di suddividerli tra metodi statici (ad esempio, Zieger-Nichols),
attraverso i quali ottengo un preciso e definitivo set di parametri per il PID,
e metodi dinamici, per i quali, a partire da un set di parametri iniziali ot-
Introduzione 8
tenuto con uno dei metodi statici, attraverso specifici algoritmi riusciamo a
spostarci verso set di parametri sempre migliori, allo scopo di garantire un
controllo ottimo del processo. Non a caso, per controllo ottimo si intende
l’insieme di tutti gli algoritmi di controllo che stabilizzano il nostro sistema,
minimizzando una cifra di merito (costo) dipendente dallo stato del sistema
ed eventualmente dal vettore degli ingressi.
Questo elaborato ha lo scopo di spiegare in modo dettagliato uno dei metodi
dinamici pi` u efficienti per la taratura automatica dei controllori PID, che si
basa su un algoritmo chiamato Extremum Seeking. Il punto di forza della di-
scussione, oltreaprevedere unatrattazionecompletamentetempo-discreta,` e
quello di lavorare su modelli ed effettuare prove esclusivamente in tempo rea-
le, essendo questo un modo di procedere che rispecchia le reali condizioni di
lavoro nella realt` a. A tal fine tutti i nostri modelli, impianto da controllare e
regolatori,cos` ı comel’algoritmoExtremum Seeking, sarannorealizzati attra-
verso schemi a blocchi tramite il pacchetto Simulink di Matlab. L’elaborato
` e strutturato nel seguente modo:
• NelCapitolo1vienedescrittoilcontrolloreindustrialePID,insiemealle
sue principali caratteristiche; in particolare verranno dati i due classi-
ci modelli di rappresentazione (quello ideale e quello reale). Inoltre
vengono brevemente spiegati i due principali metodi statici di sinto-
nizzazione, che ci serviranno come punto di partenza per l’algoritmo
dell’Extremum Seeking: il metodo di Zieger-Nichols ad anello aperto e
ad anello chiuso.
• Nel Capitolo 2 studieremo il funzionamento dell’algoritmo Extremum
Seeking nel dominio tempo-discreto, a partire dalle equazioni alle dif-
ferenze che lo descrivono, analizzando i vari parametri dell’algoritmo
con la loro rispettiva influenza e infine ricavando uno schema a bloc-
Introduzione 9
chi equivalente per l’implementazione real-time dello stesso. Durante
questa trattazione focalizzeremo la nostra attenzione sulla corrispon-
denza tra equazioni e schema equivalente, soffermandoci su certi punti
di interesse per la cui analisi si rimanda direttamente al Capitolo 2.
• Nel Capitolo 3 sar` a descritto lo schema di controllo completo real-time
che utilizzeremo per lenostreprove. Oltreall’algoritmodell’Extremum
Seeking, lo schema comprender` a una struttura dedita al calcolo del co-
sto e alla generazione dei segnali di sincronizzazione, nonch` e il modello
dell’impianto da controllare e il modello del controllore PID (che come
vedremo si differenzia leggermente dalle rappresentazioni usuali citate
nel Capitolo 1).
• Nel Capitolo 4 sar` a condotta una verifica del funzionamento dell’algo-
ritmo dell’Extremum Seeking attraverso semplici esempi, riguardanti
modelli descritti da funzioni di trasferimento discrete con un numero
assai limitato di poli e zeri (con e senza ritardo). Analizzando questi
primi risultati si cercher` a di capire il ruolo dei vari parametri dell’al-
goritmo e sotto quali condizioni si ha la tendenza a convergere verso
parametri ottimi.
• Nel Capitolo 5 ci concentreremo sull’applicazione dell’algoritmo del-
l’Extremum Seeking ad un caso di progetto pratico, riguardante il mo-
dello inscaladielicotteroHumusoft CE 150. Latrattazionecomincier` a
dalprogettodiduecontrolloriPIDperlaregolazioneinizialedelledina-
miche che descrivono il modello: quella relativa all’angolo di elevazione
e all’angolo di azimuth; si passer` a quindi a ricavare il modello matema-
tico non lineare e poi quello linearizzato dell’elicottero Humusoft CE
150.
Introduzione 10
A questo punto, una volta implementati in simulink questi due model-
li, passeremo alle prove effettive di funzionamento, descrivendo il modo
con cui si riesce ad ottenere un set di parametri ottimi per il controllo
delle due dinamiche accoppiate.
Inoltre studieremo l’effetto della presenza del rumore nello schema di
controllo, discutendo poiunapossibilemodifica nelcalcolo dell’integra-
le del costo che l’Extremum Seeking deve minimizzare. Essa prevede
di sommare all’errore anche le variazioni sugli ingressi, introdotte per
lo studio della risposta e l’ottimizzazione dei parametri per il modello
non lineare di elicottero.
Capitolo 1
Controllori PID
Lo studio del controllore PID` e molto importante in quanto ha un vastissimo
campo di applicazione all’interno dei processi industriali. Inoltre, dal mo-
mento che il metodo dinamico basato sull’algoritmo dell’Extremum Seeking
che andremo a studiare, viene applicato per la auto-regolazione dei control-
lori PID, prima di iniziare la trattazione vera e propria, ` e necessario capire
come sono fatti e come funzionano questi controllori.
1.1 Il modello di un controllore PID
Un primo schema di un controllore PID pu` o essere introdotto facendo riferi-
mento alla figura 1.1. Per semplicit` a condurremo questa analisi nel dominio
del tempo continuo. Prendiamo in considerazione la figura 1.1a: G(s) ` e il
modello dell’impianto da controllare, w(t) ` e il segnale di riferimento, y(t) ` e
il segnale di uscita; il segnale in ingresso al blocco R
PID
(s) (che descrive il
nostro controllore PID)` e il segnale errore tra il riferimento e l’uscita, mentre
il segnale in uscita dallo stesso blocco ` e l’ingresso dell’impianto. Infine, d(t)
rappresenta un disturbo di misura che si somma in uscita al sistema.
Capitolo 1. Controllori PID 12
IcontrolloriPIDelaboranoilsegnaleerrorechehannoin ingressoattraverso
Figura 1.1: a) Schema ideale dei PID; b) Schema realizzativo dei PID.
treblocchi: uno adazioneproporzionale(R
P
), uno adazioneintegrale(R
I
)e
unoad azionederivativa (R
D
); i guadagnidi questi treblocchi sono i gradidi
libert` a del controllore in fase di progetto. Il segnale di uscita del controllore
` e dato da:
u(t) =K
P
e(t)+K
I
Z
t
t0
e(τ)dτ +K
D
de(t)
dt
conK
P
,K
I
,K
D
≥ 0. Di conseguenza la funzione di trasferimento di un PID
` e:
R
i
PID
(s) =K
P
+
K
I
s
+K
D
s =
K
D
s
2
+K
P
s+K
I
s
(1.1)
oppure, utilizzando una forma equivalente:
R
i
PID
(s) =K
P

1+
1
T
I
s
+T
D
s

=K
P

T
I
T
D
s
2
+T
I
s+1
T
I
s

(1.2)
dove T
I
=
K
P
K
I
` e detta costante di tempo intgrale (o reset), mentre T
D
=
K
D
K
P
` e detta costante di tempo derivativa. La figura 1.1a, come gi` a detto, riporta
lo schema a blocchi di un sistema di controllo basato su un regolatore PID;
osserviamo, allora, che entrambe le funzioni di trasferimento non sono pro-
prie, e quindi non fisicamente realizzabili; per ovviare a questo problema, si
aggiunge di solito un polo ad alta frequenza al blocco derivatore, realizzando
Capitolo 1. Controllori PID 13
quindi la funzione di trasferimento seguente:
R
r
PID
(s) =K
P
 
1+
1
T
I
s
+
T
D
s
1+
T
D
N
s
!
=K
P
+
K
I
s
+
K
D
s
1+
K
D
K
P
N
s
(1.3)
dove la costante positiva N viene scelta in modo che il polo s = −
N
T
D
sia
fuori dalla banda del controllo (N = 5÷20).
In figura 1.2 sono riportati gli andamenti della risposta in frequenza di un
Figura 1.2: Risposta in frequenza di un controllore PID ideale e reale
PID ideale e di una sua realizzazione causale (col polo ad alta frequenza).
Ad ogni modo, nel seguito, faremo sempre riferimento al caso del PID ideale.
Per completezza, vediamo dalla equazione (1.2) che questi regolatori hanno
un polo nell’origine e due zeri in:
z
1,2
=−
T
I
±
p
T
I
(T
I
−4T
D
)
2T
I
T
D
Al variare dei parametri, i due zeri possono essere complessi, reali distinti o
reali coicincidenti (se T
I
= 4T
D
).