Grafi dei divisori dello zero associati ad anelli commutativi unitari

Definizione 3.1. Sia Γ un grafo. Una colorazione di Γ è un'assegnazione di un colore ai vertici di Γ in maniera tale che vertici adiacenti non abbiano lo stesso colore.

Definzione 3.2. Sia Γ = (V , E) un grafo semplice.
Un sottoinsieme di vertici C = {x1, x2, ... , xn} ⊂V dicesi cricca di Γ se (xi , xj) è un arco di Γ ∀i ≠ j.

Se R è un anello commutativo e Γ(R) il suo grafo dei divisori dello zero, una colorazione di Γ(R) è una colorazione degli elementi di Z(R)* in maniera tale che se x,y ∈Z(R)* tali che xy = 0 allora il colore del vertice x è diverso dal colore del vertice y.
Se x,y sono dei vertici distinti di Γ(R), chiameremo rispettivamente f(x), f(y) i colori assegnati ad x e y. Dunque se x,y sono adiacenti in Γ(R) allora f(x) ≠ f(y).
Logicamente, se f(x) = f(y) allora x,y non sono adiacenti in Γ(R). Inoltre C = {x1, x2, ... , xn} è una cricca di Γ(R) se xixj = 0 in R ∀i ≠ j.

Definizione 3.3. Sia R un anello commutativo e sia Γ(R) il suo grafo dei divisori dello zero. Se Γ(R) ha una cricca C ={x1, x2, ... , xn} con n elementi e nessun'altra cricca con un maggior numero di elementi, diremo che il numero di cricca di Γ(R) è uguale ad n, denotato con cl(Γ(R)).

Definizione 3.4. Sia R un anello commutativo e sia Γ(R) il suo grafo dei divisori dello zero. Dicesi numero cromatico di Γ(R) il numero minimo di colori necessari affinché vertici adiacenti non abbiano lo stesso colore. Il numero cromatico verrà denotato con χ(Γ(R)).

Proposizione 3.5. Sia R un anello commutativo. Allora χ(Γ(R)) ≥ cl(Γ(R)).

Dimostrazione. Sia cl(Γ(R)) = n e sia C = {x1, x2, ... , xn} una cricca massimale di Γ(R). Sia f(x) il colore di un vertice x di Γ(R). Dimostriamo che i tutti vertici di C devono avere necessariamente un colore diverso, ossia f(xi) ≠ f(xj) ∀i ≠ j.
Supponiamo per assurdo che ciò non sia vero, allora esisterebbero i,j ∈{1, 2, ... , n} i ≠ j, tali
che f(xi) = f(xj). Ma ciò implica che i vertici xi ,xj non sono adiacenti ossia xixj ≠ 0, contro le ipotesi. Perciò χ(C) = n.
Essendo C un sottografo di Γ(R), si ha che χ(Γ(R)) ≥ n.

In questo capitolo ci occuperemo della colorazione di Γ₀(R).
Ricordiamo che Γ₀(R) è il grafo dei divisori dello zero [4] in cui il vertice 0 è adiacente a tutti gli altri vertici ma nessun vertice è adiacente a 0. Perciò risulta che Γ(R) è un sottografo di Γ₀(R).