Modelli di ottimizzazione per la selezione di portafoglio

Gli strumenti logici a disposizione degli studiosi e di tutti sono generalmente considerati il frutto della logica bivalente, ossia quella aristotelica. Da oltre duemila anni i problemi sono affrontati e risolti con l’ausilio della logica del “si o no”, del “vero o falso”, e, sebbene fin dalle sue origini siano noti alcuni suoi punti deboli, il suo potere è tuttora indiscusso. I problemi che le situazioni reali pongono, il nostro modo di pensare e di affrontarle hanno in realtà ben poco di bivalente.

Pensare attraverso i principi della logica bivalente significa non contraddire i principi basilari di tale logica: il “principio di non contraddizione” e “il principio del terzo escluso”. Si ricorda brevemente che il primo principio afferma che un generico elemento x non può appartenere contemporaneamente ad un insieme A ed al suo complemento Ac, mentre il secondo principio afferma che l’unione di un insieme con il suo complemento produce l’insieme universo, chiamato X, al quale appartiene qualunque elemento x.

Per comprendere meglio il significato di quanto appena detto si consideri un gruppo di persone e le loro rispettive altezze. All’interno di questo gruppo ci saranno delle persone alte e delle persone basse (non alte), ma sicuramente ci sarà anche un insieme di persone che è difficile definire alte o basse, dal momento che ci sembreranno “abbastanza alte” o “non proprio basse”.

La teoria degli insiemi classici afferma che X appartiene all’insieme delle persone alte, o che Y appartiene all’insieme delle persone basse, ma non consente ad un elemento Z di essere alto e non alto allo stesso tempo, e quindi di appartenere contemporaneamente all’insieme delle persone alte e a quello delle persone basse. L’unico modo per risolvere questo problema senza violare i principi della logica bivalente consiste nel definire un valore arbitrario di “soglia”, che permetta di definire senza ambiguità gli insiemi.

Nell’esempio che stiamo considerando, se adottiamo la “soglia” 170 cm., definiremo due insiemi: quello delle persone basse, la cui altezza è inferiore a 170 cm, e quello delle persone alte, con un’altezza superiore a 170 cm. Il rigore di tale metodo lascia però insoddisfatti, dal momento che la precisione della logica ha annullato il valore e la ricchezza semantica del nostro linguaggio naturale. Come la logica tradizionale, bivalente, si basa sugli insiemi classici, la logica fuzzy si basa sugli insiemi fuzzy. Un insieme fuzzy è un insieme di oggetti nel quale non c’è un confine ben preciso o definito tra gli oggetti che vi appartengono e quelli che non vi appartengono. Il concetto chiave che sta alla base di tale definizione è quello di appartenenza: ad ogni elemento di un insieme è associato un valore di appartenenza, che indica il grado di appartenenza di tale elemento all’insieme.

Questo valore è compreso nell’intervallo [0, 1], dove 0 e 1 indicano rispettivamente il minore ed il maggiore grado di appartenenza, mentre tutti i valori intermedi indicano delle appartenenza “parziali”. Evidentemente a questo punto possiamo affermare che gli insiemi classici sono un caso particolare di insiemi fuzzy, dal momento che ammettono solo i due valori di appartenenza estremi: 0 e 1, non appartenenza e completa appartenenza. Riprendendo l’esempio precedente, nell’analisi dell’altezza del gruppo di persone ci riferiremo ad un insieme fuzzy che rappresenta le persone alte; più elevata sarà l’altezza dell’elemento, maggiore sarà il grado di appartenenza all’insieme fuzzy, e viceversa. L’appartenenza degli elementi all’insieme considerato è continua, e la transizione tra l’appartenenza e la non appartenenza non è brusca, ma graduale. In questo modo è possibile manipolare la vaghezza del linguaggio naturale, pur attraverso una scrittura formale.