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Teoremi di Punto Fisso e Applicazioni

Estratto della Tesi di Matteo Baldi

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10 CAPITOLO 1. NOZIONI DI BASE 1.4 Successioni numeriche e spazi metrici Molti fenomeni, in campo biologico, economico e sociale, sono descrivibi- li mediante funzioni definite sull’insieme N dei numeri naturali. Si pensi ad esempio all’andamento di un fondo d’investimento su base annuale do- ve la variabile indipendente assume valori discreti corrispondenti agli anni considerati. Si parla in questo caso di fenomeni discreti; per descriverli, ` e fondamentale il concetto di successione di cui riportiamo la definizione di seguito: Definizione 1.4.1 Una successione ` e una funzione definita in N, in cui cio´ e la variabile indipendente pu` o assumere solamente valori naturali. Per illustrare la definizione appena esposta, esaminiamo la successione che ad ogni numero naturale diverso da 0, associa il suo inverso: f(1) =1;f(2)= 1 2 ;f(3)= 1 3 ;... la formula che esprime questa successione sar` a, quindi f(n) = 1 n ,n∈N {0}. (1.3) Le successioni possono essere valutate in relazione alla teoria degli insiemi: possiamo infatti affermare che una successione ` e un insieme infinito ovvero costituito da un numero infinito di elementi. Precisiamo il concetto introdu- cendo il concetto di cardinalit` a, che implica la distinzione fra insiemi finiti, infiniti numerabili e infiniti con la potenza del continuo. I termini infinito e finito non sono da confondere con illimitato e limitato. Per capire la differenza consideriamo la successione (1.3); essa costituisce un insieme contenuto nell’intervallo I=[0,1]. Notiamo che sia l’intervallo che la successione sono infiniti ma con una fondamentale differenza: gli elemen- ti della successione possono essere contati o numerati, pi` u precisamente si pu` o trovare una corrispondenza biunivoca tra gli elementi della successione e l’insiemeN dei numeri naturali. Deduciamo che si potr` a sempre trovare la posizionediundatoelemento all’internodellasuccessione, cosanonpossibile all’interno dell’intervallo. Concludiamo il ragionamento dicendo che l’inter- vallo ` e infinito e limitato e la successione ` e pure infinita e limitata. Con la risoluzione del seguente limite ne troviamo l’estremo inferiore: lim n→+∞ 1 n =0.
Estratto dalla tesi: Teoremi di Punto Fisso e Applicazioni

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Teoremi di Punto Fisso e Applicazioni

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Informazioni tesi

  Autore: Matteo Baldi
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2011-12
  Università: Università degli Studi di Verona
  Facoltà: Economia
  Corso: Economia aziendale
  Relatore: Letizia Pellegrini
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 32

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Parole chiave

teoria economica
punto fisso
spazi metrici
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banach
contrazioni
cacciopoli
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