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Crittografia ellittica e il Digital Sign Algorithm (DSA)

Estratto della Tesi di Dario Cottafava

Estratto dalla tesi: Crittografia ellittica e il Digital Sign Algorithm (DSA)
ellittiche  e una combinazione dell’algoritmo di Pollard e di Pohlig-Hellman, ma
necessita ancora di tempi esponenziali rispetto alla lunghezza in bit della chi-
ave privata. Nonostante attualmente l’ECDLP sia considerato intrattabile, non
esistono verie e proprie prove del fatto che non esistano algoritmi ecienti per
la sua risoluzione. Comunque sia, per il momento non si  e ancora trovata una
soluzione accettabile e generalizzabile a tutte le curve possibili, anche se per
alcuni casi particolari il problema  e gi a stato risolto. Un concetto di fondamen-
tale importanza  e la possibilit a di computare l’ordine del gruppo delle curve
ellittiche E(F
q
). Questo perch e come si vedr a alcuni degli algoritmi risolutivi
e degli attacchi pi u ecaci all’ECDLP si basano proprio sul numero di punti
della curva considerata.
15.1 Ordine dell’ECG e Teorema di Hasse
Denizione 54 : l’ordine di E(F
q
), ovvero il numero di punti della curva
ellittica verr a denotato con jE(F
q
)j.
Si pu o subito denire l’ordine dell’insieme nito di punti in cui giace la curva, da
delle semplici considerazioni sull’equazione di Weierstrass e analizzando uno dei
graci proposti nei capitoli antecedenti. Se per ogni y esistono due x simmetriche
e al totale aggiungiamo il punto all’innito, necessariamente il numero di punti
della curva sul campo nito F
q
deve esserejE(F
q
)j =f1;:::; 2q + 1g Scendendo
pi u nel dettaglio si enuncia il teorema di Hasse:
Teorema 6 (di Hasse) : il numero dei punti di una curva ellittica E su un
campo nito F
q
sar a dato da:
jjE(F
q
)j q + 1j 2
p
q
Qui di seguito si proporranno alcuni procedimenti e ragionamenti per avvic-
inarsi alla soluzione del problema posto
15.2 Primo approccio al problema del logaritmo
Il primo approccio che si propone, chiamato brute force mode, come illustrato
nei capitoli antecedenti,  e quello di calcolare per prima cosa 2P e successiva-
mente sommare P no al raggiungimento del punto desiderato; in altre parole
computare Q=mP richiederebbe la somma di m volte il punto P:
Q = 2P +P +P +P +:::::: +P =mP
Come si pu o immaginare ci sono tecniche pi u sosticate ed ecienti.
Un secondo metodo che si pu o proporre  e quello di calcolare la prima volta
2P, successivamente raddoppiare il risultato cos  ottenuto, e cos  via.
Esempio 10 : se si volesse calcolare 16P si potrebbe fare:
1. P +P +P +::: +P = 16P , il che porterebbe a 15 calcoli consecutivi;
2. 2 (2 (2 (2P ))) = 16P ovvero solo pi u 4 calcoli.
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Estratto dalla tesi:

Crittografia ellittica e il Digital Sign Algorithm (DSA)

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Informazioni tesi

  Autore: Dario Cottafava
  Tipo: Laurea I ciclo (triennale)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Torino
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Fisica
  Relatore: Igor Pesando
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 53

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Parole chiave

crittografia
dsa
cryptography
elliptic curve
digital sign algorithm
discrete number
public key criptography

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