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Sistemi dinamici: questioni di stabilità ed applicazioni economiche

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1.3 Il problema ai valori iniziali (o di Cauchy) In altre parole un equazione differenziale ha in nite soluzioni generali, che differiscono tutte per una costante arbitraria c. Se non si hanno informazioni ag- giuntive, si otterr come soluzione, un fascio di in nite funzioni tutte identiche, ma a quote differenti (si veda in g. 1.5). Fissando nella (1.4) uno speci co valore di c, si ottiene una soluzione particolare. Risulta quindi molto importante, dopo aver trovato la soluzione generale di un equazione differenziale, osservarne il comportamento imponendo una partico- lare condizione iniziale, pensando che si debba partire da un determinato puntoP  (x0;y0) nel piano cartesiano: questa tipologia di problemi Ł detta problema ai valori iniziali o di Cauchy, ed in essi viene calcolato il valore della costante c in modo da poter trasformare la soluzione da generale a particolare. Def. 1.4 Per problema ai valori iniziali o di Cauchy relativo all equa- zione, si intende la ricerca di un integrale dell equazione tale da sod- disfare una condizione iniziale del tipo:x(t0)=x0 Ne deriva che, conoscendo l integrale generale, si possono determinare tutti gli eventuali integrali particolari che soddisfano una data condizione iniziale, sce- gliendo c in modo che x0 = (t0;c). Non in tutti i casi per , la soluzione del problema di Cauchy esiste ed Ł unica: occorre che alcune ipotesi di regolarit siano soddisfatte. Verr approfondito nel paragrafo 1.8 l argomento riguardante le condizioni di esistenza e di unicit delle soluzioni. Oltre alle soluzioni particolari, ve ne possono esistere altre non ottenibili dalla soluzione generale, particolarizzando la costante c: sono i cosiddetti integrali sin- golari. Questi ultimi sono curve integrali tali che in ogni loro punto non sono soddisfatte le ipotesi del suddetto teorema, pur essendo anch esse delle soluzioni. 9

Anteprima della Tesi di Andrea Giolo

Anteprima della tesi: Sistemi dinamici: questioni di stabilità ed applicazioni economiche, Pagina 12

Tesi di Laurea

Facoltà: Economia

Autore: Andrea Giolo Contatta »

Composta da 199 pagine.

 

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