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Il test di primalità di Miller-Rabin e il metodo crittografico di ElGamal

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CAPITOLO 1: prerequisiti teorici 3 Proposizione 1.2 I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione Procediamo per assurdo. Neghiamo la tesi e supponiamo che esista soltanto un numero finito di primi, diciamo 2,3,5,7,………,P. Consideriamo poi il numero N così definito: 2 3 5....... 1.P Per la proposizione precedente (1.1.) N o è primo o è un prodotto di primi. Se N è primo giungiamo ad una contraddizione per il fatto che N > P. Se N è invece è un prodotto di primi giungiamo in ogni caso ad una contraddi- zione poiché se 2, 3, 5, …….., P dividessero N, dovrebbero dividere anche l’unità. Poiché l’ipotesi iniziale che esista solo un numero finito di primi ci conduce a queste contraddizioni,essa è evidentemente assurda, e ciò prova che esistono in- finiti numeri primi. 1.2 Il teorema fondamentale dell’aritmetica Abbiamo visto nelle proposizioni precedenti che ogni numero composto è esprimi- bile come prodotto di primi. Tali fattori primi si possono disporre in un ordine qualsiasi, ma a parte quest’arbi- trarietà nell’ordine è possibile dimostrare che la fattorizzazione è unica. Ciò è quanto afferma il Teorema fondamentale dell’aritmetica. Teorema 1.1 Ogni numero intero maggiore di 1 è esprimibile in modo unico come prodotto di primi. Osservazioni preliminari: Se la fattorizzazione di un particolare numero m è unica, ogni divisore primo di m deve essere presente in tale fattorizzazione. Infatti se p è un divisore primo di m si ha 'mpm , e fattorizzando m’, si ottiene da questa uguaglianza una fattorizzazione per m. Se esi- stesse una fattorizzazione di m in cui p non compare si negherebbe quindi la unicità. Se un numero è primo sarà considerato come prodotto di primi, dove il prodotto ha un solo fattore.

Anteprima della Tesi di Mirko Dal Pozzo

Anteprima della tesi: Il test di primalità di Miller-Rabin e il metodo crittografico di ElGamal, Pagina 3

Tesi di Laurea

Facoltà: Ingegneria

Autore: Mirko Dal Pozzo Contatta »

Composta da 113 pagine.

 

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