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Effects of noise in continuous variables quantum communication and measurement

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6 Chapter 1. Quantum optics for quantum information and communication where ˆ W s = ∫ C d 2 λ pi 2 e 1 2 s|λ| 2 D(λ) . (1.10) Through the customary Baker-Campbell-Hausdorff (C.2) formula e A e B = exp { A + B + 1 2 [A, B] } , (1.11) which holds when [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, one writes the displacement in normal order, and, integrating with respect to arg[λ] and |λ|, one obtains ˆ W s = 2 pi(1− s) ∞ ∑ n=0 1 n! ( 2 s− 1 ) n (a † ) n a n = 2 pi(1− s) ( s +1 s− 1 ) a † a , (1.12) where we used the normal-ordered forms :(a † a) n :=(a † ) n a n = a † a(a † a− 1) ...(a † a− n +1), (1.13) and the identity :e −xa † a : = ∞ ∑ l=0 (−x) l l! (a † ) l a l =(1− x) a † a . (1.14) The density matrix can be recovered from the generalized Wigner functions using the following expression ρ = 2 1+s ∫ C d 2 αW s (α, α ∗ )e − 2 1+s |α| 2 e 2α 1+s a † ( s− 1 s +1 ) a † a e 2α ∗ 1+s a . (1.15) For the proof of equation (1.15) the reader is referred to reference [12]. In particular, for s = 0 one has the inverse formula ρ =2 ∫ C d 2 αW(α, α ∗ )D(2α)(−) a † a , (1.16) whereas for s = 1 one recovers equation (1.4b) that defines the P -function. Given the Wigner function (1.1) with s = 0, it is now possible to show [6] that, in a Master equation such as (2.41), the action of mode operators a and a † on the density matrix ρ corresponds to partial derivatives and multiplication by α, α ∗ : aρ ←→ (α + 1 2 ∂ α ∗ )W (α, α ∗ ) (1.17a) a † ρ ←→ (α ∗ − 1 2 ∂ α )W (α, α ∗ ) (1.17b) ρa ←→ (α− 1 2 ∂ α ∗ )W (α, α ∗ ) (1.17c) ρa † ←→ (α ∗ + 1 2 ∂ α )W (α, α ∗ ) (1.17d) allowing to reduce the operatorial relations involved in the Master equations to partial differential equations. This will be exploited in Chapter 2

Anteprima della Tesi di Andrea Renato Rossi

Anteprima della tesi: Effects of noise in continuous variables quantum communication and measurement, Pagina 7

Tesi di Dottorato

Dipartimento: Fisica

Autore: Andrea Renato Rossi Contatta »

Composta da 108 pagine.

 

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