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Residual distribution schemes for advection and advection-diffusion problems on quadrilateral and hybrid meshes

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10 Hyperbolic systems of conservation laws the following equations for all ϕ: ∫ +∞ 0 ∫ Rd [ ∂Q ∂t + ∇·F ] · ϕ dxdt = 0 , (1.5) ∫ +∞ 0 ∫ Rd [ Q · ∂ϕ ∂t + F ·∇ϕ ] dxdt + ∫ Rd Q(x, 0) ·ϕ(x, 0) dx = 0 . (1.6) Remark 1.6. Equations (1.5), (1.6) are equivalent for a classical solution; for a discontinuous function Q, the derivatives of Q and F do not exist for all x and t making equation (1.5) useless; on the other hand, equation (1.6) involves only derivatives of ϕ (which is C 1). Definition 1.3. A function Q is a weak solution of the Cauchy problem if Q(x, t) ∈ C 1 a.e. (in the sense of distribution) and satisfies (1.6) for any function ϕ. We observe that: i) a classical solution is, by construction, also a weak solution; ii) a weak solution is a classical solution in any domain where Q is C 1; iii) weak solutions are piecewise smooth, namely there exists a finite number of smooth ori- entable surfaces Σi in the (x, t) plane, outside of which Q is a C 1 function. 1.2.1 Rankine-Hugoniot conditions Across a discontinuity surface Σ, Q has a jump discontinuity but, since each qm obeys a conser- vation principle, not every discontinuity is admissible for a given system of conservation laws. Let nΣ = (nt, nx1 , . . . , nxd)T = (nt, nˆΣ)T be the vector normal to Σ at a point P ∈ Σ, in which nt is the time component and nˆΣ ∈ Rd is the unit vector normal to Σ at each time t > 0. With Q+ and Q− we denote the limits of the function Q approaching to Σ from both sides: Q± = lim ε→0+Q ( (x, t)± εnΣ ) . Consider a small region D ⊂ Rd × [0,∞[ containing P, and crossed by a discontinuity surface (i.e. Σ). We denote by D± the two open components in which Σ divides D, assuming, for instance, that nΣ points toward D+. Denoting with wfvec the vector valued function (with p elements) chosen in the space of infinitely differentiable functions with compact support in D, namely ϕ ∈ C∞0 (D)p, we obtain from (1.6): ∫ D [ Q · ∂ϕ ∂t + F ·∇ϕ ] dxdt = ∫ D+ [•] dxdt + ∫ D− [•] dxdt = 0 ,
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Indice dalla tesi:

Residual distribution schemes for advection and advection-diffusion problems on quadrilateral and hybrid meshes

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Informazioni tesi

  Autore: Dante Tommaso Rubino
  Tipo: Tesi di Dottorato
Dottorato in Dottorato inIngegneria Meccanica
Anno: 2006
Docente/Relatore: Michele Napolitano
Correlatore: PietroDe PalmaGiuseppePascazio
Istituito da: Politecnico di Bari
Dipartimento: Macchine ed Energetica
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 150

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Parole chiave

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finite element schemes
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