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New construction methods for copulas and the multivariate case

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2 Introduction If a b or b a, we say that a;b are comparable, otherwise a and b are incomparable, in notation akb. A set L over which a relation of partial order is defined is called a partially ordered set or poset. Notice that elements of a partially ordered set need not be comparable with one another, though each must be comparable with itself. If for every pair of elements a;b of a partially ordered set L we have either a b or b a or both, the set L is said to be simply or totally ordered and is called a chain. Since a b and b a imply a= b, hence we may define a chain as a partially ordered set in which for every pair of distinct elements a;b we have either a b or b a (linearity or ordering property). We note that any subset of a chain is itself a chain. A finite chain of n elements has a least and a greatest member, and is isomorphic with the sequence of natural numbers(1;2;3;:::;n). Suppose that L is a partially ordered set and A is a subset of L. If x 0 is in L and x x 0 (x 0 x) for each x2 A, then x 0 is an upper (lower) bound for A. If x 0 in A is an upper (lower) bound for A, then x 0 is the greatest (least) element of A. If x 0 is in A and there does not exist any x 00 in A with x 0 x 00 (x 00 x 0 ), then x 0 is a maximal (minimal) element of A. A greatest (least) element is a maximal (minimal) element. A partially ordered set can have at most one greatest (least) element, but it may have any number of maximal (minimal) elements. Distinct maximal (minimal) elements do not have ordering property, that is they are unordered. If the set of up- per (lower) bounds of A has a least (greatest) element, then this least upper bound (greatest lower bound) of A is the supremum (infimum) of A and is denoted sup L (A)(inf L (A)) if the set L is not clear from context or sup(A) (inf(A)) if the set L is clear from context. If two elements, x 0 and x 00 , of a partially ordered set L have a least upper bound (greatest lower bound) in L, it is their join (meet) and is denoted x 0 _ x 00 (x 0 ^ x 00 ). A partially ordered set that contains the join and the meet of each pair of its elements is a latticehL;_;^i. It shall be convenient to lay down the convention W / 0= V / 0=?. A function f(x) from a partially ordered set L to a partially ordered set Y is increasing (de- creasing) if x 0 x 00 in L implies f(x 0 ) f(x 00 )( f(x 00 ) f(x 0 )) in Y . A function is monotone if it is either increasing or decreasing. A function f(x) from a partially ordered set L to a partially ordered set Y is strictly increasing (strictly decreasing) if x 0 x 00 in L implies f(x 0 ) f(x 00 ) ( f(x 00 ) f(x 0 )) in Y . It is common in the lattice theory literature [10, 97], to use the terms isotone and antitone rather than “increasing” and “decreasing”, respectively, but the latter are used herein in order to maintain a more familiar terminology. 1.1.1 Sublattice Structure If A is a subset of a lattice L and A contains the join and meet (with respect to L) of each pair of elements of A, then A is a sublattice of L. For a lattice L, letL(L) denote the set of all nonempty sublattices of L. If A is a sublattice of a lattice L, then A is itself a lattice and in A the join and meet of any two elements are the same as the join and meet of those same two elements in L. If L is a lattice, A is a sublattice of L, and A 0 is a sublattice of A, then A 0 is a sublattice of L. If A is a sublattice of L, L and A are lattices with the same ordering relation,
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New construction methods for copulas and the multivariate case

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Informazioni tesi

  Autore: Maddalena Manzi
  Tipo: Tesi di Dottorato
Dottorato in Scienze Matematiche - Indirizzo Matematica Computazionale
Anno: 2011
Docente/Relatore: Marta Cardin
Correlatore: RadkoMesiar
Istituito da: Università degli Studi di Padova
Dipartimento: Dipartimento di Matematica
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 142

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Parole chiave

copule
measure
probability
joint distribution
supermodularity
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ultra modular

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