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Classificazione automatica per dati ad alta dimensionalità: un approccio fuzzy per dati categorici

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Caso particolare: la distanza di Mahalanobis Quando si definisce la distanza euclidea, si suppone che le variabili non siano mu- tualmente correlate, ossia che non abbiano nessuna relazione lineare prese a due a due. Quando questa assunzione è violata, si potrebbe verificare una distorsione nella computazione delle distanze tra le osservazioni. In tal caso, è applicata solitamente la distanza di Mahalanobis, definita come: d S (i;i 0 )= q (x i x i 0) T S 1 M (x i x i 0) (1.7) che è una variante generalizzata della distanza euclidea. La matriceS M rappresenta la matrice di varianze e covarianze delle variabili calcolata nel seguente modo: S M = 1 n n i=1 (x i x j )(x i x j ) T (1.8) con x j = 1 n n i=1 x i pari al vettore delle medie delle variabili. Quando le variabili sono indipendenti, la matriceS M è diagonale: gli elementi diversi da 0 presenti sulla diago- nale principale sono uguali alle varianze delle variabili. La risultante misura è perciò definita distanza euclidea normalizzata. La distanza di Mahalanobis è invariante rispetto a trasformazioni lineari delle variabili originarie, e viene utilizzata per l’identificazione delle osservazioni atipiche (outliers) all’interno dei dati. Esiste, inoltre, una versione di tale distanza riferibile ai gruppi, che tiene conto dei rispettivi centroidi; essa assume la seguente espressione: d S (k;k 0 )= q (x k x k 0) T S 1 M (x k x k 0) (1.9) dove S M ora rappresenta la matrice di varianze e covarianze riferite ai gruppi presi a due a due. Essa aumenta all’aumentare delle distanze tra i centri dei gruppi, ed al diminuire della varianza entro i gruppi. Tiene, infine, conto della forma (possibilmente non sferica) dei clusters. [22] 1.3.2 Altre misure di distanza Tra le misure di distanza utilizzate nel caso di osservazioni descritte da variabili quan- titative rientrano anche altre due misure non meno frequenti rispetto alla distanza euclidea. La distanza City block Detta anche distanza rettilineare (o metrica di Manhattan), è così chiamata in quanto rappresenta la distanza che deve coprire un individuo che si muova in una città di blocchi rettangolari, con strade tra di loro perpendicolari o parallele. L’individuo non può attraversare diagonalmente la città, ma si deve muovere lungo una dimensione alla volta del blocco (Figura 1.2). La sua espressione è: d 1 (i;i 0 )= q j=1 jx i j x i 0 j j (1.10) 10
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Informazioni tesi

  Autore: Marco D'Alessandro
  Tipo: Tesi di Laurea Magistrale
  Anno: 2017-18
  Università: Università degli Studi di Napoli - Federico II
  Facoltà: Scienze Politiche
  Corso: Scienze Statistiche per le decisioni
  Relatore: Francesco Palumbo
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 140

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Parole chiave

cluster analysis
raggruppamento
riduzione della dimensionalità
fuzzy cluster analysis
fuzzy approach

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