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Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 14 allora, il processo Yt = X1(t)X2(t) avra` differenziale: dYt = X1(t)dX2(t) + X2(t)dX1(t) + g1(t)g2(t)dt = (X1(t)f2(t) + X2(t)f1(t) + g1(t)g2(t)) dt + (X1(t)g2(t) + X2(t)g1(t)) dWt (1.20) Per la dimostrazione basta considerare U(t, Xt) = X1(t)X2(t) ed applicare la formula (1.19). Infine, una interessante applicazione della formula sopra scritta e` quella che vede la funzione generica U(t, Xt) solo funzione diretta del processo di Wiener e non anche del tempo, cioe` U(Wt). Ne deriva che il suo differenziale sara`: dU(Wt) = uw(Wt)dWt + 1 2 uww(Wt)dt (1.21) con uw corrispondente alla derivata prima e seconda rispetto a Wt. Espressa in termini di integrale stocastico possiamo anche riscriverla come: U(Wt1)− U(Wt0) = ∫ t1 t0 uw(Wt)dWt + 1 2 ∫ t1 t0 uww(Wt)dt (1.22) Questa espressione viene anche definita come teorema fondamentale del calcolo integrale stocastico (secondo Itoˆ), ed esprime il valore al tempo t di una generica funzione del processo di Wiener. E’ interessante notare come il suo incremento sia dato non solamente dal tempo trascorso ∆t, ma anche dal valore assunto dal processo di Wiener alla fine del periodo considerato. Questi ed altri strumenti derivati, al pari di quelli noti nel calcolo differen- ziale classico, ci permettono di risolvere alcune tra le piu` comuni equazioni differenziali stocastiche, come risultera` chiaro nel prossimo paragrafo. Res- ta da dire che la loro applicazione non e` spesso molto intuitiva e richiede una notevole capacita` operativa oltre che una buona conoscenza teorica, al pari delle regole di integrazione classiche. Nonostante questo, quando si af- frontano equazioni nuove, che si allontanano notevolmente dalla linearita`, anche questi metodi non permettono di arrivare ad una soluzione chiusa, e ci si deve, per cos`ı dire, accontentare di una soluzione approssimata, spesso attraverso tecniche numeriche. Ovviamente anche i metodi di stima utiliz- zabili dovranno adeguarsi alle varie situazioni, ma su questo torneremo piu` oltre.

Anteprima della Tesi di Roberto Matterazzo

Anteprima della tesi: Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo, Pagina 13

Tesi di Laurea

Facoltà: Economia

Autore: Roberto Matterazzo Contatta »

Composta da 306 pagine.

 

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