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Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 6 Diventa poi interessante mettere in luce le caratteristiche della distibuzione condizionata del processo9, rispetto un certo valore iniziale Ws. In questo caso otterremo i momenti condizionati: • E[W (t) | W (s)] = W (s) ∀s ≤ t • E [ (W (t)−W (s))2 | W (s) ] = t− s ∀s < t e conseguentemente una densita` condizionata normale del tipo: • f(W (t) | W (s)) = 1√ 2pi(t−s) exp { − (W (t)−W (s))22(t−s) } Infine viene evidenziata la struttura della funzione di autocovarianza del processo. Si dimostra10 che: Cov[W (t),W (s)] = E[W (t)W (s)] = min(t, s). mentre l’espressione della varianza si riduce a: V ar[W (t)] = E[W (t)2] = t Appare quindi caratteristica la struttura della variabile casuale m-dimen- sionale ottenuta come realizzazione per t ∈ {t1, t2, ..., tm} di un processo di Wiener. Tale variabile risultera` una normale multivariata, con vettore di media nullo e matrice di varianza-covarianza {ai,j}i,j=1...m e dove ai,j = min(ti, tj), cioe` nella forma:   t1 ... ... t1 . . . t2 ... t2 . . . . . . . . . t1 t2 tm   (1.2) 9Si veda Grimmett-Stirzaker (’95) pp. 487 e succ. 10Baldi (’84) p. 41.

Anteprima della Tesi di Roberto Matterazzo

Anteprima della tesi: Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo, Pagina 5

Tesi di Laurea

Facoltà: Economia

Autore: Roberto Matterazzo Contatta »

Composta da 306 pagine.

 

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