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L'autoriferimento in teoria degli insiemi

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9 didattico per insegnare a schematizzare le esperienze e farne astrazione, e dunque ad elaborare le strutture mentali necessarie alla riflessione di tipo scientifico e logico-matematico. Per questo, sebbene non manchino ragionevoli contestazioni contro il suo abuso, essa ha un suo ruolo importante nei curricula formativi nel fornire agli studenti solide basi teoriche non aliene all�intuizione. Oltre all�efficacia pedagogica, parte del suo interesse risiede inoltre nel fatto che essa provvede anche gli studiosi gi� formati di una grande capacit� di organizzazione concettuale dei fenomeni, mentre le sue diverse applicazioni (in teoria dell�informazione, in probabilit�, od in certi studii in campo economico) hanno prodotto notevoli progressi teorici e grandi innovazioni tecnologiche. Possiamo spingerci fino a dire che in certo modo gli insiemi e la scienza che ci permette di maneggiarli, caratterizzano, tra altre cose, il nostro tempo, poich� con essi, sebbene talora mascherati o nascosti in dispositivi e strumenti, abbiamo a che fare quotidianamente, pur senza accorgercene, in mille occasioni. Per fare un esempio di strumento di cui ci serviamo quasi tutti i giorni e che deve molto alla teoria degli insiemi, possiamo considerare le basi di dati (data bases). Proprio alcune versioni di questa struttura cos� importante possono esser soggette all�azione debilitante del paradosso di autoriferimento. La variante �gerarchica completa� (descritta nel capitolo II di questa tesi), ammette infatti il caso di un insieme che appartiene a se stesso e ci�, in base alle pi� correnti sistemazioni teoriche della teoria degli insiemi su cui poggia, pone problemi di consistenza. � bene dire che questa debilitazione non � tale da rendere inefficienti agli effetti concreti le basi di dati gerarchiche complete, tanto � vero che gli informatici continuano a usarle e perfezionarle con successo. Ma il loro operare, sino a che qualche matematico non giustifichi razionalmente i loro procedimenti garantendone la sicurezza, � per cos� dire �abusivo� ed �a loro rischio�, un po� come lo era quello di quei geodeti e geografi, che ben prima della rivoluzionaria introduzione delle geometrie non euclidee usavano nel loro lavoro triangoli la somma dei cui angoli era maggiore di un angolo piatto od altre costruzioni geometriche impossibili, e dunque vietate, nella geometria euclidea. � noto come costoro fossero abituati a limitarsi ad un ambito strettamente tecnico e che non potessero teorizzare esplicitamente l�esistenza di quegli enti geometrici senza dover temere �le strida dei beoti�. Oggi fortunatamente le cose vanno in modo un po� diverso, ed anzi una delle funzioni della ricerca matematica � anche quella di riconciliare strumenti efficaci con la teoria da cui derivano, ma in base alla quale non potrebbero funzionare. L�oggetto di questa tesi � proprio un caso di questa riconciliazione: si tratta di rivedere la teoria in modo da poterglieli annettere in tutta coerenza. Pi� in generale quel che si cerca di ottenere � la possibilit� di dare una trattazione rigorosa, con le argomentazioni che siamo soliti usare per gli insiemi, anche ai fenomeni circolari, togliendo ad essi il marchio del paradosso. 3 Il punto cruciale. Come meglio illustrato nel capitolo VI di questa tesi, l�autoriferimento venne bandito ai primi del secolo passato dalla costruzione logica e matematica di Russell, secondo cui la maggior parte dei paradossi logici sarebbe originata proprio dalla possibilit� che un insieme appartenga a s� stesso o che una proposizione si riferisca a se stessa. In seguito, von
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L'autoriferimento in teoria degli insiemi

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Informazioni tesi

  Autore: Giovanni Giuseppe Nicosia
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2001-02
  Università: Università degli Studi di Bologna
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Piero Plazzi
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 70

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