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combinazione di questa e del moto della luna attorno alla terra genera i cicli delle fasi
lunari. Nella storia dell�umanit� questi cicli hanno rappresentato, per la loro regolarit�,
una importante fonte di riflessione scientifica, spingendo alla razionalizzazione dei
fenomeni naturali. Uno schema per il succedersi delle stagioni dell�anno [BM 96] pu�,
essere il seguente:
anno = (primavera, (estate, (autunno, (inverno, (anno))))).
Analoghi schemi possono essere inventati per schematizzare tutte le regolarit� del
corpo umano, come ad esempio il battito cardiaco. Analogamente un dialogo tra due
individui [BM 96] pu� essere rappresentato come:
dialogo = (primo individuo, (secondo individuo, (dialogo))).
Tale schema si presta a diverse attivit� di relazione ed a giochi a mosse, come una
partita a scacchi od a ping pong.
III. Un infarto pu� essere causato da una forte emozione: il cardiopatico che cominci a star
male prova terrore perch� ha paura che gli stia venendo un infarto; tale emozione pu�
essere cos� forte da provocare un aggravamento dell�infarto stesso, da cui deriva
ulteriore terrore; da questo segue ancora aggravamento, in un ciclo che pu� portare
alla morte. Schematicamente:
infarto Ø terrore Ø aggravamento = (infartoØ terrore Ø aggravamento).
Questo esempio differisce lievemente dal precedente perch� qui tra tutti i termini c��
un nesso causale e non semplicemente sequenzialit�.
IV. La chiamata ricorsiva � uno schema in cui all�interno di una procedura si richiama la
procedura stessa:
Programma:=(Istruzione1, (Istruzione2, (Programma)))
in genere questi cicli terminano, dato che si tratta di liste di istruzioni cui segue un
qualche atto da parte della macchina e che modificano la situazione ad ogni passaggio.
Tuttavia ci� non � affatto garantito e sta all�abilit� del programmatore evitare cicli
infiniti. Si noti che, pi� in generale, la nozione di stato di un sistema [BM 96], in
informatica, pu� dare luogo a cicli in quelle macchine progettate per tornare
regolarmente negli stessi stati.
V. Il linguaggio [BM 96], oltre a ci� che chi comunica intende significare, trasmette
sempre anche un�informazione riguardo a se stesso: che si sta usando proprio quel
linguaggio. Non � difficile immaginare come da ci� possano derivare dei casi di
autoriferimento che non sempre si semplificano ricorrendo alla gerarchia dei
metalinguaggi.
VI. L�anafora
1
pu� offrire diverse occasioni di cicli di significato, in cui un pronome si
riferisce al soggetto od all�oggetto di una subordinata in cui compare un altro pronome
riferito al primo. Nella frase: �colui che viveva vicino a colei che per anni lo aveva
1
Adattamento da [BM 1996].
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disturbato, la denunci��, il senso di �colui che�, si chiarisce solo se si sa chi � �colei
che�, ma essa � definita in una subordinata determinata dal pronome �lo�, che si
riferisce di nuovo a �colui che�: analogamente per �colei che�, e per �la�.
VII. Ogni convenzione condivisa [BM 96] da una comunit� (legge, uso, credenza) vige
effettivamente grazie al seguente ciclo: ognuno degli individui ritiene che essa viga, e
dunque che tutti debbano accettarla, cio� si aspetta che tutti gli altri individui
l�accettino e si aspettino da lui che l�accetti, e che dunque si aspetti da loro che
l�accettino e si aspettino da lui che l�accetti e che si aspetti da loro ... cos� all�infinito.
Si tratta di un aspetto importante perch�, ad esempio, quando il conducente di un
veicolo viola una regola del codice stradale, il rischio di fare un incidente, peggiore di
quello di una multa, � dato proprio dal fatto che gli altri conducenti si aspettano un
diverso comportamento. La teoria delle situazioni, che schematizza questioni di questo
genere, � piena di esempii simili.
VIII. Particolare interesse riveste il caso in cui una certa situazione sia determinata dal fatto
che gli individui interessati siano a conoscenza di esservi collocati [BE 87], o che
alcuni di loro sappiano che altri ne sono consapevoli. Ad esempio � chiaro che una
partita a poker a carte scoperte non � uguale ad una partita regolare, n� al caso in cui
uno o pi� giocatori disonesti riescano a vedere, all�insaputa degli altri, le carte di
qualche altro giocatore. Se si vuole modellizzare cercando di dare risalto a questi
aspetti, occorre concepire una struttura, la situazione, che si compone, oltre che da
della lista delle condizioni oggettive rilevanti, anche delle cose cui tutti gli individui
sono a conoscenza, tra cui pu� comparire la situazione stessa.
IX. Secondo una massima del sofista Protagora di Abdera [AF 86] �l�uomo � misura di
tutte le cose, di quelle che sono in quanto sono e di quelle che non sono in quanto non
sono�. Se tra �tutte le cose� ci sono anche l�uomo stesso e la sua attivit� di misurare
(ed � legittimo crederlo perch� essi �sono�) si ha un ciclo. Analoghi cicli di
autoreferenzialit� sono generati dal motto socratico �so di non sapere� se tra le cose
che �non so� c�� anche questo non sapere. Esempii simili possono incontrarsi
esaminando interpretazioni estremiste dello scetticismo e dell�idealismo.
X. Nella tradizione aristotelica [AF 86] una delle definizioni del Primo Motore, principio
che genererebbe in ogni istante l�universo, � quella di �ente che pensa se stesso
pensante�. Il pensiero � visto come �elemento primo� dell�universo proprio in quanto
attivit� in grado di autoprodursi, ossia grazie alla sua capacit� di riferirsi a se stesso.
Concezione non molto dissimile si ritrova anche nell�espressione di Cartesio �Cogito,
ergo sum� [BM 96]. Questi, cercando, quasi come i matematici dell�inizio del
ventesimo secolo, qualche elemento fondamentale indubitabile su cui costruire il suo
sistema filosofico, si era proposto di mettere in dubbio tutto ci� che poteva esser
dubitato sino a che non avesse trovato qualcosa per cui ci� fosse impossibile: fin� con
lo stabilire che l�unica cosa che aveva tale caratteristica era proprio il fatto che stava
pensando, da cui poteva concludere che esisteva. Dubitare della sua attivit� di pensiero
avrebbe infatti richiesto una sua attivit� di pensiero, dunque il suo pensare era
un�attivit� indubitabile. Il pensiero pone se stesso ed anche il pensante, cos� come il
pensiero del Primo Motore aristotelico genera se stesso e l�universo. Tutto ci� si basa
sull�autoreferenzialit� del pensiero, cio� su di un ciclo.
XI. C�� ciclicit� anche nell�antinomia del mentitore [BE 87] che pu� esser formulata come
una proposizione che si riferisce a se stessa, asserendo la propria falsit�. Essa � il
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primo esempio di circolarit� conclamata nella cultura occidentale. Poich� sembra
strano che la ricerca sia arrivata a considerare cose di questo genere solo all�epoca
della Sofistica, si pu� pensare che tutti gli altri esempii in cui la circolarit� non dava
troppo fastidio siano stati trascurati, e che si sia cominciato ad occuparsene solo
quando alcuni sofisti avevano preso ad usare questo caso �patologico� inserendolo
nell�arsenale di paradossi con cui sconvolgevano le teorie logiche e le filosofie altrui.
Solo in seguito ci si � poi preoccupati di altre circolarit� che non costituiscono
direttamente antinomia, come ad esempio quella di una frase che asserisca la propria
verit�: in realt� essa � altrettanto sconvolgente di quella del mentitore, perch�, essendo
la negazione della precedente, si ha che ammettendo la legittimit� di questa come
proposizione sensata � necessario ammettere anche l�altra. Strutture cicliche
paradossali sono ad esempio il foglio di Jourdain ed i libri antinomici di Tarski, citati
in [B 97], in cui compaiono coppie di proposizioni come la seguente:
1. questa affermazione � vera se e solo se lo � la seguente.
e di seguito:
2. questa affermazione � vera se e solo se lo � la precedente.
o ancor pi� paradossalmente:
1. questa affermazione � vera se e solo se lo � la seguente.
2�. questa affermazione � falsa se e solo se lo � la precedente.
Se si pensasse che tali paradossi si possano risolvere semplicemente con la
gerarchizzazione tra linguaggi e metalinguaggi o con altri accorgimenti sintattici, ci si
pu� convincere che ci� non � vero grazie alle due proposizioni
2
:
1''. La maggior parte delle dichiarazioni di Cesare Previti � falsa.
2''. Tutte le accuse dei giudici di Milano sono vere.
Qui non c�� niente paradossale se non quando siano i giudici di Milano ad asserire 1 e
sia Cesare Previti ad asserire 2 ed un numero pari di proposizioni di cui una met� siano
chiaramente vere e l�altra chiaramente false. In tal caso 2 � vera se e solo se � falsa. Il
paradosso di autoriferimento non � qui di natura sintattica, bens� semantica.
XII. Un proverbio calabrese dice: �non vali neppure a dir che non vali�. Dello stesso
genere � la ciclicit� che incontriamo tutte le volte che una qualche autorit� deve
giudicare se stessa. Gli organi di autogoverno delle categorie professionali, i codici di
autoregolamentazione e persino le assemblee costituenti (che si legittimano da se
stesse, non esistendo ancora poteri, che appunto si devono costituire, n� codici di
riferimento, che si devono scrivere) possono presentare caratteristiche di riferimento
circolare. In realt� di solito ragioni storiche o di contesto fanno s� che una qualche
struttura esterna di riferimento almeno culturale preesista sempre, il che ridimensiona
l�autolegittimazione. La storia insegna inoltre che diverse istituzioni (poteri, scuole
filosofiche, chiese, partiti, o gruppi d�opinione), trovandosi a doversi difendere da
eterodossie, eresie, o riforme, hanno fatto ricorso alla promulgazione di attestazioni
della loro unicit� come istituzioni legittime, dando luogo a fenomeni di
2
Italianizzazione di un esempio di Saul Kripke riportato in [BM 96].
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autoriferimento. In genere la sacralit� di un testo sacro � espressa nel testo sacro stesso
e la fede si regge su atti di fede. Tipiche realt� autoreferenziali del mondo di oggi sono
le universit� ed il Ministero delle Universit� e della Ricerca, che in genere producono
loro stesse gli strumenti con cui giudicarsi.
XIII. �La distanza di sicurezza � la distanza minima da tenere dal veicolo che ci precede,
per evitare collisioni e tamponamenti e per garantire in ogni caso l�arresto tempestivo
del veicolo. (...) La distanza di sicurezza deve essere almeno uguale al tempo di
reazione del conducente� [A]. Questa in realt� non � proprio una definizione circolare,
ma lo diventa nella pratica perch� l�unico criterio per vedere se una distanza data la
soddisfa � a posteriori, ossia quando il veicolo si � gi� fermato in sicurezza o meno.
Solo dopo che si � tamponato il veicolo che precede si sa se la distanza che si teneva
non era tale da permettere di non tamponare. Questo permette ai vigili di elevare
contravvenzioni, quelle s�, circolari, nel testo delle quali il reato contestato � quello di
non aver tenuto la distanza di sicurezza, tanto � vero che si � tamponato. Detto in altri
termini: si � tamponato perch� non ci si � impedito di tamponare, cio� si � commessa
un�infrazione perch� si � commessa quella stessa infrazione.
2 Gli insiemi.
Per tentare di �far scienza� in ambito matematico dei fenomeni di autoriferimento si �
naturalmente portati, nel nostro secolo, a rappresentare gli oggetti in essi coinvolti in termini
di insiemi, con definizioni e strutture basate su questi che ne rendano possibile una
schematizzazione. Se infatti � vero che si pu� parlare di molti fatti matematici anche senza
citare la nozione di insieme, � anche vero che, per il nostro attuale modo di pensare, prima o
poi essa salta fuori, o, per meglio dire, si viene a scoprire che � sempre stata sullo sfondo.
Essa ha avuto nel secolo passato il ruolo di pietra angolare di tutta la matematica e tanta �
l�efficacia del ragionare per insiemi che ci si aspetta di poterlo fare pi� o meno con tutto
3
.
Purtroppo, in base alle consuete impostazioni insiemistiche ci� non � possibile, perch�
in esse l�autoriferimento � esplicitamente vietato. Chiunque oggi prenda a sfogliare un libro di
matematica destinato ai primi anni delle facolt� scientifiche se ne accorger� alle prime
pagine
4
, ove in genere si raccomanda di non nominare nemmeno l��insieme di tutti gli
insiemi�.
Dopo una nascita soffertissima e contrastata, l�insiemistica � oggi uno dei pilastri
fondamentali dell�istruzione scientifica di base in quasi tutto il mondo, proprio grazie alla sua
grande efficacia nella modellizzazione dei fenomeni. Ci� la rende un formidabile strumento
3
�I sistemi formali pi� estesi finora costruiti sono, da un lato, il sistema dei Principia Mathematica (PM), e,
dall�altro, il sistema d�assiomi per la teoria degli insiemi dovuto a Zermelo e Fraenkel (e ulteriormente
sviluppato da J. L. von Neumann). Entrambi questi sistemi sono cos� comprensivi che tutti i metodi
contemporanei di dimostrazione usati in matematica sono stati formalizzati in essi, cio� sono stati ridotti a pochi
assiomi e poche regole d�inferenza. Viene quindi alla mente la congettura che questi assiomi e regole d�inferenza
siano sufficienti per decidere tutti i problemi matematici che possono essere espressi formalmente, nella loro
completezza, nei predetti sistemi.� [Boc 72]. �L�importanza della teoria degli insiemi in tutta la matematica
d�oggi � dovuta al fatto che, come � stato dimostrato dall�esperienza, in pratica ogni concetto matematico si pu�
opportunamente definire in termini di concetti di teoria degli insiemi, e ogni proposizione matematica si pu�
opportunamente tradurre in una proposizione di teoria degli insiemi.� [Ab 72].
4
<<Dunque se la propriet� x – x dovesse definire un insieme, questo sarebbe �l�insieme di tutti gli insiemi�: il
paradosso di Russell, ci porta allora a riconoscere l�impossibilit� di un tale insieme; in altre parole, nella teoria
degli insiemi non ci pu� essere �universo�>> [P 70]. Cos� quasi tutti i testi di Analisi 1.
9
didattico per insegnare a schematizzare le esperienze e farne astrazione, e dunque ad elaborare
le strutture mentali necessarie alla riflessione di tipo scientifico e logico-matematico. Per
questo, sebbene non manchino ragionevoli contestazioni contro il suo abuso, essa ha un suo
ruolo importante nei curricula formativi nel fornire agli studenti solide basi teoriche non
aliene all�intuizione.
Oltre all�efficacia pedagogica, parte del suo interesse risiede inoltre nel fatto che essa
provvede anche gli studiosi gi� formati di una grande capacit� di organizzazione concettuale
dei fenomeni, mentre le sue diverse applicazioni (in teoria dell�informazione, in probabilit�,
od in certi studii in campo economico) hanno prodotto notevoli progressi teorici e grandi
innovazioni tecnologiche. Possiamo spingerci fino a dire che in certo modo gli insiemi e la
scienza che ci permette di maneggiarli, caratterizzano, tra altre cose, il nostro tempo, poich�
con essi, sebbene talora mascherati o nascosti in dispositivi e strumenti, abbiamo a che fare
quotidianamente, pur senza accorgercene, in mille occasioni.
Per fare un esempio di strumento di cui ci serviamo quasi tutti i giorni e che deve
molto alla teoria degli insiemi, possiamo considerare le basi di dati (data bases). Proprio
alcune versioni di questa struttura cos� importante possono esser soggette all�azione
debilitante del paradosso di autoriferimento. La variante �gerarchica completa� (descritta nel
capitolo II di questa tesi), ammette infatti il caso di un insieme che appartiene a se stesso e
ci�, in base alle pi� correnti sistemazioni teoriche della teoria degli insiemi su cui poggia,
pone problemi di consistenza.
� bene dire che questa debilitazione non � tale da rendere inefficienti agli effetti
concreti le basi di dati gerarchiche complete, tanto � vero che gli informatici continuano a
usarle e perfezionarle con successo. Ma il loro operare, sino a che qualche matematico non
giustifichi razionalmente i loro procedimenti garantendone la sicurezza, � per cos� dire
�abusivo� ed �a loro rischio�, un po� come lo era quello di quei geodeti e geografi, che ben
prima della rivoluzionaria introduzione delle geometrie non euclidee usavano nel loro lavoro
triangoli la somma dei cui angoli era maggiore di un angolo piatto od altre costruzioni
geometriche impossibili, e dunque vietate, nella geometria euclidea. � noto come costoro
fossero abituati a limitarsi ad un ambito strettamente tecnico e che non potessero teorizzare
esplicitamente l�esistenza di quegli enti geometrici senza dover temere �le strida dei beoti�.
Oggi fortunatamente le cose vanno in modo un po� diverso, ed anzi una delle funzioni
della ricerca matematica � anche quella di riconciliare strumenti efficaci con la teoria da cui
derivano, ma in base alla quale non potrebbero funzionare. L�oggetto di questa tesi � proprio
un caso di questa riconciliazione: si tratta di rivedere la teoria in modo da poterglieli annettere
in tutta coerenza.
Pi� in generale quel che si cerca di ottenere � la possibilit� di dare una trattazione
rigorosa, con le argomentazioni che siamo soliti usare per gli insiemi, anche ai fenomeni
circolari, togliendo ad essi il marchio del paradosso.
3 Il punto cruciale.
Come meglio illustrato nel capitolo VI di questa tesi, l�autoriferimento venne bandito
ai primi del secolo passato dalla costruzione logica e matematica di Russell, secondo cui la
maggior parte dei paradossi logici sarebbe originata proprio dalla possibilit� che un insieme
appartenga a s� stesso o che una proposizione si riferisca a se stessa. In seguito, von
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Neumann, che operava nel contesto della teoria di Zermelo-Fraenkel, ZF (tratteggiata
brevemente nel capitolo I), viet� pi� precisamente l�esistenza di catene infinite di
appartenenza, formulando l�assioma di Fondazione o Regolarit� (capitolo II). Nella teoria cos�
integrata (ZF+FA) non esistono dunque soluzioni all�equazione insiemistica:
X = {X}.
L�esistenza di un insieme soluzione, in mancanza di altre regole, avrebbe infatti ridotto
il campo di applicabilit� dell�assioma di estensionalit� (capitolo I), fondamento di tutta la
costruzione. Vietandola, l�universo degli insiemi aveva trovato una gerarchizzazione e la
possibilit� di costruire, con i mezzi di questa teoria, tutta la matematica che allora sembrava
necessaria.
Questo � il nodo della questione: Aczel, propose negli anni ottanta del secolo scorso
un assioma del tutto opposto, che assicura l�esistenza e l�unicit� della soluzione di equazioni
come quella citata: l�assioma di �Antifondazione� [Ac 88] (capitoli III e V).
La legittimit� di tale assunzione � mostrata grazie ad un sistema di rappresentazione
degli insiemi basato su grafi, la cui univocit� si basa su due lemmi dovuti a Mostowski
(capitolo III). Con tali strumenti si dimostra che la teoria che scaturisce dal sistema di
Zermelo-Fraenkel e dall�assioma di Antifondazione (ZF+AFA) � tanto consistente quanto ZF
(capitolo IV). Ci� � il massimo che possiamo ottenere, poich� il teorema di G�del, ci vieta di
dimostrare la consistenza tout court di una teoria, ma d�altra parte in ci� questa nuova
eguaglia la vecchia ZF+FA, anche essa tanto consistente quanto ZF.
adattamento di una figura in [BE 87]
Esistono in ZF+AFA insiemi che appartengono a loro stessi, o che sono estremi di
catene infinite di appartenenza, detti iperinsiemi, e con essi si possono trattare i fenomeni di
autoriferimento. Per gli altri insiemi, raccolti in una classe apposita, continua a valere tutto ci�
che valeva in ZF+FA. ZF+AFA amplia ZF+FA, non introduce nuove inconsistenze, ed � una
teoria pi� versatile.
Riassumendo secondo lo schema dell�euristica matematica proposto da Imre Lakatos
[L 76], si pu� dire che alcuni paradossi legati all�autoriferimento misero in crisi la congettura
cantoriana che ogni collettivit� fosse un insieme; da qui scatur� una serie di divieti atti ad
escludere questo ed altri �mostri�, che Russell e von Neumann inserirono tra le basi della
teoria, mettendo al sicuro la concezione cumulativa (capitolo III). Siamo ora nella fase
successiva in cui P. Aczel, J. Barwise e tanti altri, avendo rivalutato alcuni �mostri� e
riconosciuta loro qualche utilit�, sviluppano metodi per eliminarne gli effetti devastanti, e li
reintroducono nella teoria con un ruolo importante. La presente tesi descrive questa fase.
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4 Ringraziamenti.
Ringrazio il mio relatore, professor Piero Plazzi, per l�aiuto sempre attento e
precisissimo che ha saputo darmi, per la competenza con cui mi ha indirizzato nelle occasioni
di dubbio e per la pazienza davvero biblica che ha dimostrato nei miei confronti durante la
gestazione lunghissima di questa tesi. Gli sono particolarmente grato di avermi fatto
affacciare sull�abisso dell�autoriferimento, della teoria degli insiemi e della logica
matematica.
Similmente ringrazio il professor Bruno D�Amore, oltre che per tutto ci� che mi ha
insegnato in questi anni, anche per come me lo ha insegnato. Lo ringrazio per gli ottimi
consigli, per le persone che mi ha fatto conoscere e per le belle cose che mi ha dato occasione
di fare. Ad entrambi sar� sempre debitore di un grosso contributo alla mia formazione
matematica e generale, di persona senziente.
Alla fine di questa fase del mio percorso formativo, cos� lungo e tormentato, debbo
esprimere le mia pi� sincera gratitudine ai miei genitori, l�insegnante Silvana Cellerino ed il
restauratore Giovanni Franco Nicosia, per il sostegno materiale ed intellettuale che mi hanno
sempre assicurato in questi anni, nonch� per avermi sopportato e spronato. Mi rendo conto di
come ci� non debba esser stato facile e di quanto la loro fiducia mi sia stata necessaria.
Sempre nella mia famiglia vorrei ringraziare in modo particolare mio nonno, il
maestro Pietro Cellerino, insegnante elementare del secolo passato con diverse manie �logico-
matematiche�, amante dell�ordine e degli algoritmi e positivista ortodosso, che, penso, oggi
sarebbe contento se potesse sapere della strada che ho imboccato.
Ringrazio inoltre Fra Venanzio Maria Quadri dei Servi di Maria per il suo discreto e
costante aiuto e per averlo sempre avuto testimone presente in tutti i fatti della mia vita
universitaria, il caro amico Alessandro Ghigi, zoppo col quale ho imparato a zoppicare, anche
se poi abbiamo zoppicato in strade diverse, ed il professor Sandro Ciraci, che, trattando
sempre da adulti tutti i suoi studenti, ne ha letteralmente convertito alla matematica diversi,
tra cui me, che recalcitravo in un ombroso liceo classico e non volevo nutrirmi che di
letteratura.
Ringrazio infine mia moglie Jeanine per la grande forza che ha saputo e sa infondermi
nella vita di ogni giorno, per la pazienza con cui mi ha sopportato, egocentrico e distante, nei
periodi pi� intensi della preparazione di questa tesi, ed anche per la grande gioia che sta per
darmi. A lei ed alla sua pancia questo modesto lavoro � dedicato, cos� come ogni mio sforzo.
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.