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La proposizione di Godel

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15 variabile, segue che φ(x) ha un significato definito solo se gli oggetti φ(a), φ(b), φ(c), ecc. sono definiti. Perciò “nessuna funzione può avere tra i propri valori qualcosa che presupponga la funzione stessa” 12 . Ma la gerarchia non è così semplice. Se chiamiamo a-funzioni quelle significanti per un argomento dato a, constatiamo che le varie a-funzioni non sono tutte di un tipo. Distinguiamo in particolare quelle che non implicano riferimenti a nessun insieme di funzioni, le a-funzioni predicative, da quelle che implicano il riferimento a una totalità di funzioni. In questo caso il rimando a tutti o a alcuni dei valori che una variabile può assumere, cioè la presenza di variabili apparenti, richiama il rischio di nuove fallacie. “Ogniqualvolta, con frasi intorno a ‘tutti’ o ‘alcuni’ valori che una variabile può sensatamente assumere, diamo origine a un nuovo termine, questo nuovo termine non deve essere uno dei valori che la variabile originaria può assumere, dato che, se lo fosse, la totalità dei valori su cui la variabile può estendersi sarebbe definibile 12 Ibidem, p. 87. Secondo Kurt Gödel (Gödel, K., Russell’s Mathematical Logic, in Schlipp P. A.(a cura di), The Philosophy of Bertrand Russell, Library of living philosophers, vol. 5, Northwestern University, Evanston, 1944; trad. it. di C. Cellucci, “La logica matematica di Russell”, in Cellucci, C.(a cura di), La filosofia della matematica, Laterza, Bari, 1967, pp. 81-122) nei Principia Mathematica si riscontrerebbero in realtà tre differenti principi del circolo vizioso, formulati in termini di definibilità, di involgimento e di presupposizione. “La prima forma è di particolare interesse perché solo questa rende impossibili le definizioni impredicative.” Ma per Gödel questa è anche la forma meno plausibile delle tre: “si può dimostrare che il formalismo della matematica classica non soddisfa il principio del circolo vizioso nella sua prima forma, giacché gli assiomi implicano l’esistenza di numeri reali definibili in tale formalismo solo facendo riferimento a tutti i numeri reali”. Ma essendo la matematica classica ricostruibile in base ai Principia, se ne deduce che il sistema stesso dei Principia non soddisfa al principio del circolo vizioso. (cit. da pp. 92-93.) Va comunque ricordato che, per Gödel, il principio del circolo vizioso nella sua prima forma diviene necessario soltanto se si assume, rispetto agli oggetti della logica e della matematica, una concezione nominalista, quale è appunto quella condivisa da Bertrand Russell e Alfred North Whitehead nei Principia. Intendendo invece le classi come oggetti reali, esso perderebbe il suo ruolo centrale.

Anteprima della Tesi di Francesca Guidi

Anteprima della tesi: La proposizione di Godel, Pagina 11

Tesi di Laurea

Facoltà: Lettere e Filosofia

Autore: Francesca Guidi Contatta »

Composta da 157 pagine.

 

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