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Aspetti semantici della logica proposizionale modale

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Anteprima della tesi: Aspetti semantici della logica proposizionale modale, Pagina 8
1. Introduzione
(3) ⊧F  sse ⊧Fw per ogni w ∈W
Talvolta si scriverà ⟨M w⟩ ⊧ (risp. M ⊧ ) invece che ⊧Mw (risp. M ⊧
). Discorso analogo nel caso di validità in strutture. E conveniente estendere la
valutazione V da variabili proposizionali a formule. Scriveremo quindi V ( ) per
indicare l insieme di mondi in cui è vera, cioè
V ( ) = {w ∣ w ⊧ }
Si ha così immediatamente che, dato un mondo w e variabili proposizionali (pi)i∈I ∈
w ∈ V ( ) sse per ogni pi ∈ w ∈ V (pi)
Verranno inoltre rappresentate strutture di Kripke con diagrammi, tracciando
una freccia da w a v se wRv. Per comodità, verranno utilizzati due tipi di diagram-
mi, a seconda che sia utile mettere in luce la validità delle variabili nei singoli mondi,
oppure le relazioni tra i vari mondi. In generale non verranno tracciate freccie che
rappresentino ri essività e transitività quando ciò sarà evidente dalla de nizione
stessa di modello.
Esempio 1.9 Sia dato M = ⟨W R V ⟩ con W = {w v u}, R= {⟨w w⟩ ⟨w v⟩,
⟨v v⟩ ⟨v u⟩} e V(p)= {v}, V(q)={w v}. Questa situazione è rappresentata gra -
camente così:
ONMLHIJKpw
//
//
_^]\XYZ[p
q
v
bb
//
ONMLHIJKu
oppure più semplicemente
○w //○v //●u
dove i mondi ri essivi sono indicati dal segno ○.
Il seguente teorema mostra che la base assiomatica di qualsiasi sistema normale,
ossia il sistema K, è corretto
Teorema 1.10 K⊢ ⇒ F ⊧ , per ogni struttura F.
Dimostrazione. Poichè CL ⊂K, restano da dimostrare la validità di K e RN. Sia
M un modello arbitrario e w1 un mondo qualsiasi. Si supponga che ⊧w1 ◻( → )
e ⊧w1 ◻ . Allora ⊧w2 ( → ) e ⊧w2 per ogni w2 t.c. w1Rw2. Per la semantica di
→, ⊧w2 e quindi ⊧w1 ◻ . Quindi K è valido in ogni mondo di ogni struttura.
Per RN, se ⊢ , allora ∀i wi ⊧ . Questo signi ca che a fortiori si ha wi ⊧ , e
così RN conserva la validità ⊣
Elenchiamo qui i principali tipi di relazione (le condizioni su R) che verranno
utilizzati nel nostro lavoro:
11
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Informazioni tesi

  Autore: Luca Valania
  Tipo: Tesi di Laurea Magistrale
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Milano
  Facoltà: Lettere e Filosofia
  Corso: Filosofia
  Relatore: Silvio Bozzi
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 133

FAQ

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Parole chiave

algebra
gödel
kripke
logica
logica modale
logica proposizionale modale
modelli generali
prova ontologica
semantica
semantica algebrica
semantica di kripke
semantica relazionale

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