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Determinantal and Pfaffian Hypersurfaces

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Anteprima della tesi: Determinantal and Pfaffian Hypersurfaces, Pagina 3
Introduction 12
Room ([Ro938]). We refer especially to the first one for a modern develop-
ment of determinantal representations of hypersurfaces.
The case of curves has been recently studied for example by Vinnikov.
Nonequivalent linear determinantal representations ofC are in bijection with
certain line bundles on the curveC (already known in [CT979]) and they can
be parametrized by the non exceptional points of the Jacobian variety
fline bundlesL= degL =
1
2
d(d 3);h
0
(C;L) = 0g
[Vi989]. To any compact Riemann surface X one can associate the pair
(JX; ) , the Jacobian and the Riemann theta function. The geometry of
the pair is strongly related to the geometry of X. This gives an idea that
higher rank vector bundles define a non-abelian analogue of the Jacobian
called moduli space firstly due to the mathematicians of the Tata Institute
[Ne978]. MuchlaterphysicistsinConformalFieldTheoryintroducedpairsof
moduli spaces and determinant line bundles on these moduli spaces [Th992].
This has made a clear analogy with the Jacobian pair.
The case of determinantal representations of cubic surfaces was developed by
Cremona [Cr868]. Such determinantal representations have been studied for
example by [BL998], [Ge989]. Recently, Brundu and Logar have considered
singular cubic surfaces and have showed that all, except those containing
one line only, have determinantal representations (see also subsection 2.5.1).
In [Be000] we find the following proposition, reported by us as proposition
3.3.2:
Proposition 1. LetC be a projectively normal curve on S [a smooth cubic
surface in P
3
], of degree
1
2
d(d 1) and genus
1
6
(d 2)(d 3)(2d + 1). The
line bundleO
S
(C) admits a minimal resolution
0
//O
d
P
3
( 1)
M
//O
d
P
3
//O
S
(C)
// 0
with det(M) =F.
Conversely, letM be a linear determinantal representation forS; the cok-
ernel of M :O
d
P
3
( 1)
//O
d
P
3
is isomorphic toO
S
(C), whereC is a smooth
projectively normal curve on S with the above degree and genus.
Also Buckley and Košir, recently, have worked on this one-to-one corre-
spondence. In [BK007] we can found
Theorem 2. There is a one-to-one correspondence between classes of deter-
minantal representations of S and sixers of lines on S. In particular, there
are 72 different classes.
reported by us as theorem 2.3.1. In particular, Beauville has proved that
determinantal representations of a smooth cubic surface are in one-to-one
correspondence to particular line bundles associated to twisted cubic curves
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Determinantal and Pfaffian Hypersurfaces

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Informazioni tesi

  Autore: Fabio Tanturri
  Tipo: Laurea II ciclo (magistrale o specialistica)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Trieste
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Emilia Mezzetti
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 100

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twenty-seven
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