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Determinantal and Pfaffian Hypersurfaces

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Anteprima della tesi: Determinantal and Pfaffian Hypersurfaces, Pagina 9
1.1 Six points in P
2
18
In our context, it will be useful the following slightly different formula-
tion, stated for example in [KR005, Tutorial 72].
Hilbert-Burch Theorem (II). Let R =K[x
0
;x
1
;:::;x
m
] and let I be an
homogeneous ideal inR with ht(I) = 2 and hd
R
I = 1. Let the minimal num-
ber of generators  (I) = n, then I admits a graded minimal free resolution
of the form
0
//R
n 1
L
//R
n
G
//I
// 0
and is generated by the maximal minors (n 1) (n 1) of an n (n 1)-
matrix L of homogeneous forms. The ith entry of the (1 n)-matrix G is
( 1)
i
times the minor obtained from L by removing the ith row. Moreover,
any minimal system of generators of I can be represented in this way.
Let (I(X)) =n and let us set a minimal system of homogeneous genera-
tors (g
0
; g
1
;:::; ( 1)
n 1
g
n 1
) of I(X). We can apply the previous theorem
to I(X), because all the hypotheses are satisfied due to the properties 1.1.1.
We get the free resolution
0
//R
n 1
L
//R
n
G
// I(X)
// 0,
(1.2)
where G =
 g
0
g
1
::: g
n 1
 .
Let us say more about L and G.
Property 1.1.2. There are no non-zero entries of degree zero in L, that is
the entries of L do not belong to Knf0g.
Proof. The proof is by reductio ad absurdum. Let us suppose thatL = (L
ij
)
has a non-zero entry of degree zero, namely L
00
. The free resolution 1.2
implies that
n 1
X
i=0
L
i0
g
i
= 0,
but then
g
0
=
n 1
X
i=0
L
i0
L
00
g
i
and so the g
i
are not a minimal system of generators of I(X), contradiction.
Observation 1.1.3. Let us remark that the previous property still holds for
every ideal satisfying the hypoteses of Hilbert-Burch Theorem.
Hilbert-Burch Theorem has also the beautiful “consequence that an ideal of
a set of points with many generators must have all generators of rather high
degree; this was the application that Burch originally had in mind” ([Ei995,
20.4]). We will see what it means in property 1.1.4: for an ideal I satisfying
the hypotheses of Hulbert-Burch Theorem, having a number of generators
 (I) n makes these generators to be of degree at least n 1.

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Determinantal and Pfaffian Hypersurfaces

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Informazioni tesi

  Autore: Fabio Tanturri
  Tipo: Laurea II ciclo (magistrale o specialistica)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Trieste
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Matematica
  Relatore: Emilia Mezzetti
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 100

FAQ

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twenty-seven
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