II
analitici, che descrivano la curva analizzata, per permettere la comparazione con
altre curve dello stesso tipo. Il pacchetto pu� essere utilizzato, al fine della
determinazione dei parametri di forma, su qualsiasi tipo di curva, anche per
esempio una firma digitalizzata.
Il pacchetto in questa tesi � stato utilizzato sia in ambiente medico che in
ambiente biologico. In particolare in ambiente medico � stato utilizzato per lo
studio di ultrastrutture, in ambiente biologico � stato utilizzato per lo studio
dell�osso preorbitale dei pesci appartenenti alla famiglia delle Mugilidi alle
scopo di effettuare uno studio tassonometrico della specie.
FORME � una pacchetto interattivo che si prefigge l�obbiettivo di essere
un utile strumento di lavoro per utenti non esperti nella programmazione
informatica, ma che necessitano della conoscenza dei parametri descrittori
della forma degli oggetti in esame per i loro studi di analisi statistica
multivariata.
Infatti i risultati ottenuti per ogni curva analizzata vengono salvati su file
ASCII per permettere la comparazione con altri parametri, relativi a forme dello
stesso tipo, in programmi di statistica ed analisi come SPSS per Windows
(Statistical Package for Social Science).
Per quanto riguarda la parte medico-scientifica, per il materiale fornito e
per i suggerimenti e chiarimenti dati, si ringrazia il Prof. Vittorio Cavallari del
Dipartimento di Patologia Umana, Sez. di Diagnostica Ultrastrutturale e
Metodologie Quantitative, Universit� di Messina.
III
Per quanto riguarda lo studio biologico dei Mugilidi bisogna ringraziare
la prof. Lorenza Salpietro del Dipartimento di Biologia Animale e Ecologia
Marina dell�Universit� di Messina.
Le immagini seguenti mostrano l�applicazione in ambiente medico del
pacchetto.
Figura I.1 - Preparazione delle utrastrutture da analizzare
Le parti di tessuto da analizzare vengono prelevate e preparate in un
particolare modo per poter essere visualizzate dal microscopio elettronico come
viene mostrato nella figura precedente.
IV
Successivamente � possibile analizzare le immagini al microscopio
elettronico e trasferirle su un computer portatile, ad esso collegato, dopo averle
fotografate con una macchina fotografica digitale.
Figura I.2 - Microscopio elettronico
Infine vengono presi i profili desiderati tramite tavoletta grafica o mouse
ed il computer esegue l�algoritmo appropriato.
Figura I.3 � Ultrastruttura analizzata al computer
V
Per quanto riguarda l�applicazione del pacchetto in biologia, mostriamo le
aree in cui tali studi sono stati effettuati.
Figura I.4 � Aree in cui � stato pescato il pesce da analizzare
La tesi si articola in due capitoli e una guida, comprensiva di tutorial, per
gli utilizzatori del pacchetto, la quale contiene due appendici con l�elenco delle
routine utilizzate e relativo albero delle dipendenze.
Il primo capitolo contiene tutti i concetti relativi alla teoria delle funzioni
wavelets e multiwavelets e relative propriet�.
Nel secondo capitolo, dopo l�introduzione sulla stima dei descrittori
quantitativi di forma delle curve, vengono analizzate tutte le fasi dell�algoritmo
realizzato comprensive di tutti i supporti teorici necessari. Inoltre vengono
A
B
C
D
E
F
Oliveri-Tindari
Golfo di Trieste
Ganzirri / Torre
Faro
Mare
Adriatico
Mar
Tirreno
Stretto di
Messina
100 m
100 m
10 km
VI
riportati alcuni risultati della sperimentazione numerica nei casi reali
precedentemente descritti di morfologia quantitativa.
Il pacchetto software FORME e la GUIDA per l�UTENTE sono
reperibili alla pagina web: http://www.forme.too.it
1
CAPITOLO 1
CENNI MATEMATICI SULLE WAVELETS E
MULTIWAVELETS
FUNZIONI WAVELETS.
Le wavelets sono famiglie di funzioni dello spazio L
2
(IR), generate dalla
traslazione e dalla dilatazione (o contrazione) di un'unica funzione Ψ detta
wavelet madre. Sono definite, in modo del tutto generale, da
−
Ψ=Ψ
a
bx
x
ab
2
1
-
,
|a|)(
dove a, b rappresentano, rispettivamente, i parametri di dilatazione e di
traslazione.
DEFINIZIONE.
Definiamo lo spazio L
2
(IR) lo spazio delle funzioni f tali che:
∫
+∞
∞−
∞<dxxf
2
|)(|
L
2
(IR) � uno spazio di Banach con norma
2
1
2
(IRL
|)(|||||
2
=
∫
∞+
∞−
)
dxxff
2
La funzione Ψ deve appartenere allo spazio L
2
(IR) e soddisfare la
seguente condizione:
∫
+∞
∞−
=Ψ 0)( dxx
cio� deve avere un veloce decadimento a zero quando la variabile x varia
da -∞ a +∞ .
Il nome di wavelet deriva dalla funzione Ψ , poich� il suo grafico � proprio
una piccola onda.
Le funzioni wavelets forniscono una valida tecnica per l'analisi tempo-
frequenza di un segnale ad energia finita, che si presenta come una alternativa
alla trasformata di Fourier.
TRASFORMATA DI FOURIER.
La trasformata di Fourier di un segnale f(x), data da:
∫
+∞
∞−
−
= dxexfxF
xiω
)()(
� uno strumento che permette di analizzare lo spettro di un segnale.
Le variabili sono:
• x: variabile temporale
• ω : frequenza del segnale
3
Questa rappresentazione spettrale si rivela spesso inadeguata, per i
seguenti motivi:
• per ottenere il valore di F ad una determinata frequenza �
necessario conoscere l'intero segnale f(x) ed, inoltre, se in un certo
istante x il segnale viene alterato, allora questo si ripercuote
sull'intero spettro.
• considerando la trasformata di Fourier inversa, si ha:
∫
+∞
∞−
= ω
π
ω
dexFxf
xi
)(
2
1
)( ,
che consente di ricostruire f a partire dalla trasformata F, a causa
del supporto infinito delle funzioni base seno e coseno, non � possibile
localizzare i punti del segnale che presentano un determinato
comportamento spettrale.
TRASFORMATA DI FOURIER A TRATTI.
Per ovviare a questi inconvenienti Gabor introdusse una �funzione
window�
g(x-b),
dove:
• b � il parametro di traslazione, che consente di coprire l'intero
dominio del tempo x;
• g � una gaussiana, la cui trasformata di Fourier � ancora una
4
gaussiana.
Questa funzione window, introdotta da Gabor, fu usata per analizzare
informazioni locali della trasformata di Fourier, ottenendo una trasformata di
Fourier a tratti, o trasformata di Fourier short time (STFT). L'inversa della STFT,
cio� il corrispondente tratto di segnale nel dominio temporale, � ben localizzata.
Tuttavia anche questo metodo non � del tutto efficace perch� la finestra del
dominio tempo-frequenza in cui si considerano la trasformata di Fourier e la
trasformata inversa � rigida, quindi pu� risultare grande quando si analizzano
alte frequenze (cio� quando si vuole una buona localizzazione temporale) e
piccola quando si analizzano le basse frequenze.
Occorre una finestra tempo-frequenza variabile, in modo tale che
l�intervallo del tempo si restringa automaticamente per individuare le alte
frequenze e si allarghi per le basse frequenze. Ci� � possibile grazie alla
trasformata wavelet.
TRASFORMATA WAVELET.
Definiamo trasformata integrale wavelet:
(1.1)
∫
+∞
∞−
−
>=<
−
=
ab
fdx
a
bx
xfaabfW
,
2
1
,)(||),( ψψ
ψ
Essa si basa semplicemente sulla traslazione e dilatazione di una wavelet
madre di base che, con queste due operazioni, diventa, una funzione window.
Essa nasce dall�idea di considerare il prodotto scalare della funzione wavelet, in
modo da ottenere le stesse informazioni tempo frequenza, con minor costo
5
computazionale della funzione di Grabor.
Affinch� sia lecito considerare la trasformata wavelet deve valere la
seguente condizione di ammissibilit�:
∫
∞+
∞−
+∞<ω
ω
ωψ
d
||
|)(|
2
^
dove
^
)(ωψ � la trasformata di Fourier della funzione wavelet madre ψ (x).
Indicati con t* e <ω * due punti opportuni, chiamati centri, e ∆
ψ
, ∆
^
ψ
i
raggi di ψ e
^
ψ , si ha che la (1.1) localizza f:
• nel dominio temporale in un intorno del punto b+at di ampiezza
2a∆
ψ
,
• nel dominio delle frequenze in un finestra di centro
a
*
ψ
ed
ampiezza
a
a
ψ
∆2
La finestra rettangolare dominio-frequenze si restringe nel tempo per
individuare fenomeni con alte frequenze (piccoli valori di a) e si allarga per
analizzare fenomeni con basse frequenze (grandi valori di a) anche se la sua area
rimane costante di valore 4a∆
ψ
∆
^
ψ .
Ci� � dovuto al principio di indeterminazione di Heisenberg [4] secondo
cui non � possibile trovare una funzione window la cui finestra tempo-frequenza
abbia un�area minore di quella relativa alla funzione gaussiana che ha area
uguale a 2.
6
Risulter� sempre:
4a∆
ψ
∆
^
ψ
WAVELETS E ANALISI MULTIRESOLUTION.
L�analisi multirisoluzione detta anche Multi-Resolution Analysis (MRA) �
un ottimo metodo per la costruzione di funzioni wavelets, le quali costituiscono
famiglie di basi dello spazio L
2
(IR).
La MRA � una sequenza di spazi V
j
di L
2
( )
......
101
VVV ⊂⊂
−
soddisfacente le seguenti propriet�:
1) )(
2
IRLV
j
Zj
=
∈
U ;
2) {}0=
∈
j
Zj
VI ;
3) ZjIRLf ∈∀∈∀ ),(
2
si ha
1
)2()(
+
∈⇔∈
jj
VxfVxf ;
4) esiste una funzione
0
V∈φ chiamata scaling function tale che la famiglia
{ }Zkkx ∈− ),(φ
costituisce una base di Riesz per V
0
, cio� esistono due costanti A, B>0 tali
che:
2
1
2
)(
2
1
2
||)(||
2
≤−≤
∑∑∑
k
k
IRL
k
k
k
k
BkxA αφαα
per ogni successione di scalari {α
k
}.
7
Dalle propriet� della MRA si deduce che la famiglia
Zk
j
j
kj
kxx
∈
−= )2(2)(
2
,
φφ
� una base di Riesz per V
j
, Zj ∈∀ .
Si hanno quindi le altre propriet� della MRA:
5) ZjVWeWVV
jjjjj
∈∀⊥⊕=
+ 1
6) kjWW
kj
≠⊥
7)
j
Zj
WIRL
∈
⊕=)(
2
Definiamo wavelet semi-ortogonale una funzione
0
W∈ψ tale che:
.)2(2)(
2
,
ZjkxxspanW
Zk
j
j
kjj
∈∀
−==
∈
ψψ
La caratteristica delle wavelets semi-ortogonali � il fatto che .ZjWV
jj
∈∀⊥
Se indichiamo con:
• P
j
f, proiezione di una funzione )(
2
IRLf ∈ sullo spazio V
j
,
• Q
j
f, proiezione di una funzione )(
2
IRLf ∈ sullo spazio W
j
,
per le condizioni 1) e 2) si ha:
ffP
j
j
=
+∞→
lim e 0lim =
−∞→
fP
j
j
.
Ci� vuol dire che andando in sottospazi di dimensione minore (al
decrescere di j), la proiezione sullo spazio Vi, P
j
f costituisce un�approssimazione
di f sempre pi� povera di informazioni che ad una risoluzione 2
-j
� espressa dalla
formula:
8
∑
∈
==
Zk
kj
j
kjj
cfPf
,
φ
La proiezione della funzione f, nello spazio wavelet W
j
, � espressa dalla
formula:
∑
∈
==
Zk
kj
j
kjj
dfQf
,
ψ
Inoltre Q
j
f con Zj ∈ rappresenta le informazioni che si perdono passando
dallo spazio V
j+1
a V
j.
che si perdono passando da una approssimazione a
risoluzione 2
-(j+1)
ad una a risoluzione 2
-j
. Rappresentano cio� i �dettagli�:
Q
i
f=P
j+1
f-P
j
f
Passando al limite si ha:
0lim =
+∞→
fQ
j
j
Vi sono due relazioni che caratterizzano una MRA che elenchiamo qui
sotto.
Se φ genera una MRA, poich�
10
VV ⊂∈φ , esister� una successione {h
k
} per cui
si ha la two scale relation relativa a φ :
(1.2)
∑
−=
k
k
kxhx )2(2)( φφ .
Poich�
10
VW ⊂∈ψ , esister� una successione {w
k
} per cui si ha la two scale
relation relativa a ψ :
(1.3)
∑
−=
k
k
kxwx )2(2)( φψ
Le sequenze {h
k
}, {w
k
} prendono il nome di filtri.
9
SERIE WAVELET.
Ogni funzione )(
2
IRLf ∈ si pu� esprimere mediante serie di wavelet, nel
seguente modo:
∑
∈
=
Zk
kjkj
xcxf )()(
,,
ψ
dove c
j,k
sono i coefficienti wavelet, la cui espressione dipende dal tipo di
wavelet usata.
MOMENTI NULLI.
DEFINIZIONE.
Data una funzione f, si definisce momento di ordine k della funzione la
quantit�:
∫
−∞
∞−
dxxfx
k
)(
DEFINIZIONE.
Una wavelet ψ ha M momenti nulli se
1...,,00)( −==
∫
−∞
∞−
Miperdxxx
i
ψ
Quest�ultima formula per i=0, fornisce la definizione di wavelet, ne
deriva quindi che ogni wavelet possiede almeno un momento nullo.
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