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Il Libor Market Model: aspetti teorici e applicazioni al pricining dei derivati sul tasso d'interesse

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Anteprima della tesi: Il Libor Market Model: aspetti teorici e applicazioni al pricining dei derivati sul tasso d'interesse, Pagina 10
14
DEFINIZIONE 1.18 Un processo X(t) adattato alla filtrazione F (t) è una martingale rispetto alla 
stessa filtrazione se
E[X(t)|F(s)] = X(s)   per ogni 0 < s < t < T      (1.26) 
oppure, equivalentemente, E[X(t)- X(s) |F(s)] = 0.    [Yo] 
1.3 IL MOTO BROWNIANO  
Il moto browniano è il più semplice dei processi diffusivi
1
 e si ottiene mandando ad infinito il 
numero dei passi in una passeggiata aleatoria simmetrica.
DEFINIZIONE 1.19 [Shr] Sia (ȍ, F  ,  P) uno spazio di probabilità. Per ogni Ȧ
2
ɽ ȍ, consideriamo 
una funzione continua W(t) con tt 0 che soddisfa W(0) = 0 e che dipende da Ȧ. W(t) è un moto 
browniano se per tutte le 0 = t
0
 < t
1
 ……< t
m
 gli incrementi  
W(t
1
) = W(t
1
) – W(t
0
), W(t
2
) – W(t
1
), …..W(t
m
) – W(
tm-1
)
sono indipendenti e normalmente distribuiti con  
E[W(t
i+1
) – W(t
i
)] = 0  
 Var[W(t
i+
) – W(t
i
)] = t
i+1
 – t
i
       (1.27) 
Poiché gli incrementi della funzione sono normalmente distribuiti, le variabili aleatorie W(t
1
), 
W(t
2
)….. W(t
m
) sono congiuntamente normali con una distribuzione descritta in modo compiuto dai 
primi due momenti. Ognuna della v.a. W(t
i
) ha media zero, mentre la covarianza tra W(s) e W(t) 
con s < t, e considerando che gli incrementi sono indipendenti, sarà 
E[W(s) W(t)] = E[W(s)( W(t) - W(s)) + W
2
(s)]
    =E[W(s)] E[W(t) - W(s)] + E[W
2
(s)]
    =0 +Var[W(s)] =s      (1.28) 
La matrice di covarianze per un vettore di moti browniani sarà dunque la seguente 
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
)](tE[W...)] W(t)E[W(t)] W(t)E[W(t
)] W(t)E[W(t...)](tE[W)] W(t)E[W(t
)] W(t)E[W(t...)] W(t)E[W(t)](tE[W
m
2
2m1m
m22
2
12
m1211
2

=
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
m
ttt
ttt
ttt
...
...
...
21
221
111

(1.29)
DEFINIZIONE 1.20 Sia (ȍ, F  ,  P) uno spazio di probabilità e W(t) un moto brawniano definito 
sullo stesso. Una filtrazione per il moto browniano è una collezione di ı-algebre F (t), tali che: 
(i) Per 0 d  s < t, ogni insieme in F (s),sta anche in F (t). Ciò significa che nell’istante t 
successivo ad s c’è almeno la stessa quantità di informazione che c’era in s. 
L’informazione, insomma, si accumula col passare del tempo. 
                                                
1
 Vedi infra 
2
 Possiamo pensare ad Ȧ come la traiettoria del moto browniano, che è il risultato di una prova aleatoria consistente nel 
lancio di una moneta a velocità infinita.  

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Informazioni tesi

  Autore: Ervin Prifti
  Tipo: Laurea II ciclo (magistrale o specialistica)
  Anno: 2005-06
  Università: Università degli Studi di Roma La Sapienza
  Facoltà: Economia
  Corso: Finanza
  Relatore: Simonetta Rabino
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 116

FAQ

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Parole chiave

calibrazione
derivati su tasso
finanza
libor market model
pricing
pricing derivati

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