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Modelli dinamici per la volatilità delle serie finanziarie: analisi e prove di simulazione

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Anteprima della tesi: Modelli dinamici per la volatilità delle serie finanziarie: analisi e prove di simulazione, Pagina 10
1.6 { Medie e momenti condizionali
Denizione 9 (media condizionale di n variabili aleatorie)
T
Sia dato X = [X;:::;X]e un evento B; allora la media condizionale E(XjB)  e
1n
esprimibile come:
Z
E(XjB) =xf(xjB) dx
X
n
<
T
dove x = [x;:::;x]. A partire da questa denizione,  e possibile denire un qualunque
1n
momento condizionale del vettore X. In particolare, considerando il momento del secondo
ordine otteniamo:
Z
T2
E(XXjB) =xf(xjB)dx
X
n
<
Dal momento del secondo ordine possiamo ottenere la varianza del vettore X in termini di
media condizionata nel seguente modo:
T
T
Var(XjB) =E(XXjB) E(XjB)E(XjB)
La denizione di varianza condizionata  e:
T
Var(XjB) =E[(X E(XjB))(X E(XjB))jB]
Dopo aver dato queste denizioni, possiamo considerare i casi di nostro interesse. In
particolare ci torneranno molto utili ai ni della discussione sulle serie nanziarie, le seguenti
relazioni:
1.
Z
1
E[XjX;:::;X] =xf(xjx;:::;x) dx
nn 11nXnn 11n
n
1
2.
Z
1
22
E[XjX;:::;X] =xf(xjx;:::;x) dx
n 11Xnn 11n
nnn
1
Noi non abbiamo introdotto il teorema della media condizionata per non appesantire
ulteriormente le notazioni. Basti sapere che sulle base di questo teorema  e possibile scrivere:
1.
E[E(XjX;:::;X)] =E(X)
nn 11n
2.
22
E[E(XjX;:::;X)] =E(X)
n 11
nn
Questo signica che il valore atteso incondizionato  e pari al valore atteso del valore atteso
condizionato.
Con ci o concludiamo questo capitolo nel quale abbiamo fatto una serie di richiami
su alcuni concetti di probabilit a nel caso di n variabili aleatorie. Questi concetti sono
un’estensione del caso di due variabili aleatorie, che a loro volta sono l’estensione naturale
del caso di singola variabile aleatoria. Inoltre, molti altri approfondimenti possono essere
fatti riguardo al caso vettoriale, ma non  e questa la sede per approfondire la questione. Ci
siamo limitati alle nozioni di nostro interesse che ci torneranno utili nel seguito.
11
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Informazioni tesi

  Autore: Danilo Liani
  Tipo: Laurea II ciclo (magistrale o specialistica)
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Roma La Sapienza
  Facoltà: Ingegneria
  Corso: Ingegneria gestionale
  Relatore: Alberto De Santis
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 146

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