Progetto di un sintetizzatore a PLL per frequenze 25, 50, 75 Mhz in tecnologia CMOS 0.8 micron

Cap - I R.Calabró & M.Raviolo 
 
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I - 7
Dove i parametri esplicitati sono:  
u
1 
segnale di riferimento di frequenza 
1
 Ζ; 
u
d
 segnale in uscita al PD; 
u
f
 segnale filtrato dal LF; 
u
2 
segnale generato dal VCO di frequenza 
2
 Ζ; 
Analiticamente si ha: 
2
 Ζ(t) = 
0
 Ζ+k
0 
u
f
(t)
  
u
d 
(t) = k
d
 e − 
dove: 
e − è l’errore di fase tra i segnali u
1 
e u
2
, 
0
 Ζè la frequenza centrale del VCO, 
u
d 
(t) ha due componenti una dc e una ac, quest’ultima non è 
desiderata in quanto rappresenta le armoniche, quindi è filtrata dal 
loop filter. 
Se siamo in lock, cioè se u
2
 è agganciato a u
1
, allora si ha che se la 
frequenza angolare di u
1
(t) è 
0
 Ζallora il VCO opera alla stessa 
frequenza. 
Di conseguenza i segnali del circuito assumeranno i seguenti valori : 
se VCO opera ad  Ζ
0   
u
d  
= u
f  
= 0   e− = 0. 
Altrimenti: 
 
Se e − ζ0  VCO cambia la sua frequenza di operazione per annullare 
l’errore di fase. 
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I - 8
1.2 PHASE DETECTOR 
È un rivelatore di fase il cui schema è  legato al tipo di PLL che si 
vuole realizzare, la scelta ricade solitamente comunque sui seguenti 
tipi: 
1) MOLTIPLICATORE A QUATTRO QUADRANTI (LPLL) 
2) PHASE AND FREQUENCY DETECTOR (DPLL) 
3) EXOR (DPLL) 
4) JK FLIP FLOP (DPLL) 
5) FF COUNTER (ADPLL) 
 
 
 
1.3 VOLTAGE CONTROLLED OSCILLATOR 
È un oscillatore, sul quale si agisce attraverso un controllo in 
tensione che permette di modificare la sua frequenza di oscillazione 
in modo tale da raggiungere la frequenza del riferimento, quando 
questa differisce da quella da esso generata. 
 
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1.4 LOOP FILTER 
Il filtro utilizzato in un PLL è un passa basso; il tipo scelto è relativo 
alla applicazione del PLL. Alcuni filtri comunemente utilizzati 
saranno discussi in dettaglio nel capitolo del LPLL. 
Le problematiche tipo che si presentano nell’uso corrente di un PLL 
sono: 
1 PLL lock; come restarci? 
2 PLL non in lock; come si raggiunge il lock ? 
 
TIPI DI PLL ESISTENTI: 
 
1 LPLL 
 
2 DPLL 
 
3 ADPLL 
 
4 SPLL 
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1.5. LPLL (LINEAR PHASE LOCKED LOOP) 
La differenza tra i vari PLL esistenti è dovuta alla diversa 
costruzione dei blocchi presenti; per realizzare un LPLL si usa come 
PD, un Moltiplicatore a quattro quadranti. Lo schema a blocchi del LPLL 
è mostrato nella figura 1.2. 
Fig. 1.2 
 
1.5.1. FILTRI 
Definendo F(s) la funzione di trasferimento nel dominio di Laplace 
del filtro, i tipi di filtri usati generalmente nei PLL sono: 
1 Passive lag-filter. Lo schema circuitale è mostrato nella figura 1.3. 
Fig. 1.3  
la cui F(s) è la seguente : 
F(s) =
)(1
1
21
2
 Ω Ω
 Ω
    
 
s
s
  
dove : 
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1
 Ω= R
1
 C  e  
2
 Ω= R
2
 C. 
La risposta in ampiezza di questo filtro è mostrata in figura 1.4. 
Lo zero di questo filtro è cruciale in quanto influenza fortemente il 
fattore di smorzamento, come sarà mostrato nel capitolo relativo al 
charge pump.  
Fig. 1.4 
 
2 Active lag-filter. Lo schema circuitale è mostrato nella figura 1.5. 
Fig. 1.5 
 la cui F(s) è  : 
F(s)=k
a
 
1
2
1
1
 Ω
 Ω
s
s
 
 
 
dove 
1
 Ω = R
1
C
1
,    
2
 Ω= R
2
C
2    
 e  k
a 
=C
1
/C
2
. 
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La  funzione di trasferimento di tale filtro, rappresentata in figura 1.6, 
mostra che ha un comportamento simile a quello precedente con solo 
un guadagno addizionale. 
Fig. 1.6 
 
3  (Proportional Integral Filter) il quale rappresenta un filtro attivo passo 
basso. Lo schema circuitale è mostrato nella figura 1.7: 
Fig. 1.7 
 
 
 
la cui F(S) è : 
 
F(S)= 
1
2
1
 Ω
 Ω
s
s 
 
 
dove ancora  
1
 Ω = R
1
 C   e    
2
 Ω= R
2
 C. 
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Questo filtro, ha un polo nell’origine quindi si comporta come un 
integratore come è mostrato nell’andamento della funzione di 
trasferimento in figura 1.8. 
Fig. 1.8 
 
 
 
Un filtro di “alto” ordine può essere utilizzato, ma dato che ogni 
filtro addizionale introduce ulteriore ritardo di fase, è più difficile 
mantenere la stabilità. 
 
Il filtro che si può utilizzare in un LPLL non differisce da quelli 
elencati precedentemente cioè, può essere un: 
1) Filtro ritardante passivo 
2) Filtro ritardante attivo 
3) PI (Proportional Integral Filter) 
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1.5.2 Phase Detector (PD)  
Si utilizza in questo caso un moltiplicatore a quattro quadranti con 
guadagno pari a k
d
. 
Se si hanno errori di fase piccoli allora il sin(
e
 −) è approssimabile 
con il suo argomento e quindi si ha per il modello linearizzato del PD 
la seguente conclusione: 
u
d
(t) # K
d
 sin(
e
 −) #K
d
 
e
 −  ( Se 
e
 − piccolo ). 
( La spiegazione analitica della formula di cui sopra è esplicitata nel 
paragrafo del LPLL in locked state ). Quindi come si vede dalla 
precedente espressione vi è una diretta proporzionalità tra l’errore di 
fase e il segnale u
d
(t). Come si vedrà in seguito se il PLL è in 
LOCKED allora il modello lineare è il migliore. 
 
 
 
1.5.3 Voltage Control Oscillator (VCO) 
All’uscita del VCO si ha un segnale u
2
(t) di pulsazione: 
2
 Ζ(t) = 
0
 Ζ+
2
 Ζ ∋ (t) = 
0
 Ζ+k
0
 u
f
(t).  
Tale segnale rappresenta l’uscita del PLL. 
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1.5.4 LPLL IN LOCKED STATE 
Se si assume che LPLL sia in lock e che ci resti in un futuro vicino, è 
possibile sviluppare un modello lineare matematico per il sistema. 
Il modello matematico è usato per calcolare la phase-transfer H(S) la 
quale relaziona la fase 
1
 − del segnale di ingresso, alla fase 
2
 − del 
segnale di uscita: 
H(s) =
)(
)(
1
2
s
s
 4
 4
  
dove 
1
 4(s) e 
2
 4(s) sono la trasformata di Laplace dei segnali 
1
 −(t) e 
2
 −(t) rispettivamente. 
Generalmente il segnale di ingresso del LPLL è una sinusoide del 
tipo: 
u
1
(t) = U
10
 sin (
1
 Ζt+
1
 −). 
Dal momento che, il segnale di uscita è generalmente un onda 
quadra, allora u
2
(t) può essere scritta come una WALSH function: 
u
2
(t) = U
20
  W (
2
 Ζt+
2
 −) 
I due segnali di cui sopra sono mostrati in figura 1.9. 
 
Fig. 1.9a 
 
 
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Fig. 1.9b 
 
Le curve tratteggiate nelle figure 1.9a, 1.9b, rappresentano il caso in 
cui la fase sia nulla, quelle indicate con linea continua rappresentano 
il caso con fase diversa da zero. Per semplicità assumiamo che la fase 
sia costante su tutto il periodo. 
Il segnale all’uscita del moltiplicatore a quattro quadranti è ottenuto 
dalla moltiplicazione dei segnali u
1
(t) e u
2
(t). Per semplificare 
l’analisi la WALSH function è sviluppata in serie di FOURIER. 
Quindi per u
2
(t) si ha: 
u
2
(t) = U
20
 [
 Σ
4
 cos( 
2
 Ζt+
2
 −)+ 
 Σ3
4
cos( 3
2
 Ζt+
2
 −)+…] 
il primo termine tra parentesi rappresenta la componente 
fondamentale, i rimanenti termini sono armoniche dispari, quindi per 
il segnale di uscita u
d
(t) si ottiene: 
u
d
(t) = u
1 
(t) u
2
(t) = U
10
 U
20
 sin (
1
 Ζt+
1
 −) 
*[
 Σ
4
 cos( 
2
 Ζt+
2
 −)+ 
 Σ3
4
cos( 3
2
 Ζt+
2
 −)+…]  
Quando LPLL è sincronizzato le frequenze 
1
 Ζ e 
2
 Ζsono identiche e 
 u
d
(t) diventa: 
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u
d
(t) = U
10
 U
20
 [
 Σ
2
sin ( e −)…] 
dove e − = 
1
 −-
2
 − è l’errore di fase. Il primo termine di questa serie di 
componenti rappresenta la componente dc ricercata, perciò gli altri 
termini saranno eliminati attraverso il loop filter. 
Ponendo 2U
10
 U
20
/ Σ = k
d
 e eliminando i termini di alta frequenza si 
ottiene: 
u
d
(t)  # k
d
 sin ( e −) 
dove il termine k
d
 è chiamato detector gain. 
Quando l’errore di fase è piccolo, la funzione può essere 
approssimata con il suo argomento, e con tale supposizione si 
ottiene: 
u
d
(t)  # k
d
 e − 
questa equazione rappresenta il modello linearizzato del phase dector 
(PD). 
Le dimensioni di k
d
 sono rad/V, tale termine è proporzionale ad 
entrambe le ampiezze U
10 
e U
20
. 
Quindi per concludere l’analisi lineare del moltiplicatore a quattro 
quadranti si può affermare che tale blocco è di ordine zero avente un 
guadagno k
d
. 
Passando adesso al VCO ricordiamo che la sua frequenza angolare è 
esprimibile come: 
2
 Ζ(t) = 
0
 Ζ+
2
 Ζ ∋  = 
0
 Ζ+k
0 
u
f
(t) 
Dove k
0 
è 
 
chiamato vco gain ed ha dimensioni rad S
-1
 V
-1.
 
Nel modello del VCO si avrà in uscita la fase 
2
 − e non la frequenza 
2
 Ζ, ricordando la relazione che lega la fase con la frequenza, cioè 
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che la fase è l’integrale della variazione di frequenza, si ottiene:  
2
 −(t) = 
 
≥
 ∋ dt
2
 Ζ
  =  k
0 
≥
dttuf )(
  
Trasformando nel dominio di Laplace si ha: 
2
 4(s)= k
0
/s  U
f
(s) 
 
e quindi la funzione di trasferimento del VCO risulta: 
2
 4(s) / U
f
(s) = k
0
/s.
 
Quindi per segnali di fase il VCO è un semplice integratore. 
Considerando il loop filter avente funzione di trasferimento F(s) e 
appartenente ai possibili filtri elencati precedentemente, è possibile 
ora rappresentare il modello lineare del LPLL che è raffigurato in 
figura 1.10. 
Questo modello permette di analizzare le performance del LPLL. 
Dal modello totale si trova quindi la seguente funzione di 
trasferimento: 
H(s) = 
)(
)(
1
2
s
s
 4
 4
 = 
)s(Fkks
)s(Fkk
d
d
0
0
  
 [1] 
Fig. 1.10 
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In aggiunta alla funzione di trasferimento della fase bisogna 
considerare la funzione di trasferimento dell’errore H
e
(s), la quale è 
definita: 
H
e
(s) = 
)(
)(
1
s
s
e
 4
 4
  
H
e
(s) relaziona l’errore di fase e −con la fase di ingresso 
1
 −. Tra la 
H
e
(s) e la H(s) vige la semplice relazione: 
H
e
(s) = 1- H(s)    [2] 
Analizzando la nostra funzione di trasferimento della fase e 
sostituendo alla F(s) uno dei soliti filtri, si ha al denominatore della 
H(s) qualunque sia il filtro utilizzato, un polinomio di secondo grado  
del tipo: 
denominatore = 
2
2
2
nn
ss  Ζ [ Ζ     
dove 
n
 Ζ è la frequenza naturale e  [ è il fattore di smorzamento. 
Una volta sostituita l’espressione di F(s) nella H(s), si trova il 
guadagno totale del sistema che risulterà ovviamente essere k
d
 k
0
 k
a 
( 
la presenza della k
a
 vi è solamente se 
 
il filtro è attivo). 
Se la condizione k
d
 k
0
 k
a
 > 
n
 Ζ è verificata, allora si dice che il 
sistema è in high-gain loop (HGL). 
Se è vero il contrario allora il sistema è in low-gain loop. La generica 
funzione di trasferimento può essere rappresentata 
approssimativamente in ipotesi di high-gain loop e utilizzando i soliti 
filtri come: 
H(s)  # 
2
2
2
2
2
nn
nn
ss
s
 Ζ [ Ζ
 Ζ [ Ζ
    
  
 
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I - 20
e da questa risulta che: 
H
e
(s)  # 
2
2
2
2
nn
ss
s
 Ζ [ Ζ   
 
È necessaria un importante osservazione sul fattore di smorzamento 
 [, in quanto esso influenza le perfomance dinamiche del PLL, infatti 
vale la regola generale che: se  [ < 1 la risposta in transitorio diventa 
oscillatoria, invece se  [ > 1 le oscillazioni diminuiscono 
notevolmente, però la risposta dinamica diventa lenta. 
La funzione di trasferimento di un PLL di secondo ordine non è altro 
che un passa basso (è riportato di seguito il diagramma di BODE di 
un generico PLL di secondo ordine in figura.1.11). 
 
Nota: l’asse delle frequenze è normalizzato rispetto la frequenza 
naturale 
n
 Ζ. 
Fig. 1.11