Sezione d'urto Brillouin di multistrati

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parallelamente all'asse x e si smorzano esponenzialmente con la profondità; il modo 
di superficie risultante dalla loro sovrapposizione ha le stesse caratteristiche. 
• Se invece abbiamo due autovalori reali e due immaginari, dobbiamo scartare 
soltanto la soluzione parziale associata a quello con parte immaginaria positiva. Il 
sistema delle condizioni al contorno vede pertanto 34 +N  incognite, cioè una in più 
rispetto al numero di equazioni e risulta risolvibile per ogni valore di Ω . Tali Ω 
fanno parte dello spettro continuo. Delle tre soluzioni parziali accettabili nel 
substrato, una rappresenta un’onda che viaggia lungo l'asse x e si smorza con la 
profondità, mentre le restanti sono associabili a due onde piane di volume che si 
propagano specularmente rispetto ad un piano orizzontale. La concomitanza delle 
ultime due da origine ad un moto ondoso caratterizzato da un'ampiezza oscillante e 
non smorzata lungo l'asse z. 
Il modo che scaturisce dalla sovrapposizione delle tre onde appena esaminate è detto 
modo misto, poiché è caratterizzato da componenti sia di volume sia di superficie. 
• Nel caso in cui si abbiano quattro autovalori reali, possiamo accettare le onde 
parziali relative a tutti gli ma . Il numero delle incognite eccede di due il numero 
delle equazioni, cosicché il sistema è nuovamente risolvibile per ogni valore di Ω. 
Ancora una volta tali Ω entrano a far parte dello spettro continuo. 
Nel substrato, le quattro onde piane, qualora considerate a coppie, danno origine a 
due moti ondosi caratterizzati da un'ampiezza oscillante con z. La sovrapposizione 
di questi ultimi è propriamente detta modo di volume. 
 
Grazie alle considerazioni precedenti, osserviamo che al variare della frequenza 
pn 2Ω=  alcuni modi rientrano nello spettro discreto ed altri nel continuo. Uno studio 
più approfondito porta all'introduzione di una frequenza sΩ , detta frequenza di soglia, 
al di sotto della quale lo spettro è discreto, mentre al di sopra è continuo. Verifichiamo 
quest'ultima affermazione nel caso di un substrato isotropo e nel caso di un substrato 
costituito da un cristallo cubico.