Capitolo 1 SPINTA DELLE TERRE: ANALISI LIMITE E PROGETTO DELLE STRUTTURE DI SOSTEGNO FLESSIBILI
- Capitolo 1 -
Spinta delle terre:
analisi limite e progetto delle strutture di sostegno flessibili
1.1 Stati di equilibrio limite attivo e passivo di Rankine
L’applicazione della teoria di Rankine (1857) si basa sull’ipotesi fondamentale
che il terreno sia un mezzo rigido-perfettamente plastico, omogeneo ed isotropo. Se
ad una porzione della massa indefinita di terreno si sostituisce una parete
perfettamente liscia, infinitamente lunga ed infinitamente estesa (condizioni di
deformazione piana), la distribuzione delle tensioni all’interfaccia non subisce alcuna
modifica rispetto alla distribuzione geostatica. In altri termini, si ipotizza che la
parete non alteri la distribuzione delle tensioni che si avrebbe in sua assenza, ovvero
che essa si sostituisca al volume della porzione di semispazio asportata. Ne consegue
che anche sull’elementino di terra a tergo della parete le tensioni principali
coincidono con quelle orizzontali e verticali poiché, per le ipotesi fatte, non possono
esserci tensioni tangenziali sulla superficie di contatto tra la parete ed il terreno.
Nelle condizioni iniziali, la distribuzione delle tensioni orizzontali lungo la
parete è facilmente ricavabile mediante la relazione:
' = ' K
h0 v0 0
dove ' è la pressione geostatica iniziale efficace verticale alla profondità z, ' è
v0 h0
la pressione iniziale efficace orizzontale alla stessa profondità z e K è il coefficiente
0
di spinta a riposo delle terre.
La teoria inoltre, prescinde dal tenere in conto la rigidezza relativa struttura-
terreno poiché la paratia è per ipotesi una struttura infinitamente rigida: in seguito
alla spinta del terreno, essa può muoversi di corpo rigido.
Nell’ipotesi in cui il materiale obbedisca al criterio di rottura di Mohr-
Coulomb, in seguito alla formulazione del principio degli sforzi efficaci (Terzaghi,
1923), può scriversi:
( )
= c +' ' tan = ' c +' u tan ' (1.1)
f n n
1
-tsjsjssss
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in cui:
= tensione totale normale al piano di rottura considerato;
n
u = pressione interstiziale dell’acqua;
c' = coesione efficace;
' = angolo di attrito interno.
z
'v0
plastico
6
5
'h0
3 4
2
'
1
c'
'h0
'a 'v0 'p
'
elastico
Figura 1.1 - Possibili stati di tensione per un elementino a contatto con la parete in campo
elastico (K ) e all’equilibrio plastico (o limite, o rottura).
0
Tale stato tensionale è descritto dal cerchio di Mohr “a riposo” lontano dalla
retta di rottura di equazione (1.1) (si veda la Figura 1.1, cerchi 1,2,4,5). Il criterio di
rottura di Coulomb è infatti rappresentato nel piano ( , ') da una retta detta
inviluppo di rottura (Eq. 1.1) in cui tutti i punti sono indicativi di una stato tensionale
a rottura. I punti al disotto di tale retta rappresentano stati tensionali ammissibili in
condizioni lontane dalla rottura, mentre quelli al disopra non hanno significato fisico,
non rappresentando uno stato tensionale reale perché incompatibile con il criterio di
resistenza del materiale.
Se si produce uno spostamento progressivo della parete verso l’esterno in tutti i
punti del mezzo la tensione verticale per l’equilibrio resta inalterata, mentre la
v0
tensione orizzontale , per effetto dell’espansione del terreno, si riduce
h0
progressivamente fino a raggiungere un valore minimo limite o di rottura attiva
' ' ' , quando il cerchio diventa tangente all’inviluppo di rottura (Figura
h 3 a
1.1, cerchio 3).
2
””ssssstsjs
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In tali condizioni limite attraverso la costruzione del cerchio di Mohr tangente
all’inviluppo di rottura (Figura 1.2) è possibile determinare l’inclinazione del piano
di rottura, individuata dal segmento DB passante per l’origine dei piani O (polo
P
della rappresentazione) e per il punto di tangenza B, e le coordinate di quest’ultimo
che definiscono a loro volta i valori di e ' agenti su tale piano.
f n
Da semplici considerazioni trigonometriche, si osserva che tale inclinazione
è pari a 4 + ' 2 rispetto al piano su cui agisce la tensione principale massima
ˆ
(piano orizzontale). Si osservi infatti che l’angolo BCA è pari a 90 ' (triangolo
ˆ
rettangolo BCA ). L’angolo supplementare BCE è pari a 90 + ' ed è angolo al
ˆ
centro dell’angolo alla circonferenza BO E = che dunque è pari ad
P
1 '
ˆ
BCE= 45 + .
2 2
La determinazione della tensione limite attiva ' ' risulta piuttosto
a 3
agevole in base a semplici considerazioni geometriche.
'
4 2
z
'1
B
f
R
'3
'
A
Op
D E
O
C
'3= 'a 'n '1
'
'
'1 + '3
4 2
c'/tan '
2
Figura 1.2 - Rappresentazione del criterio di Mohr-Coulomb per la condizione limite attiva.
Dalla Figura 1.5 risulta:
AC = AO + OC
1 ( ' ' )
1 3
c'ctg +' ( ' ' ) sen '=
1 3
2 2
ACsen '= CB
1 1 1
c'cos '+ ' sin +' '= ' (1 sin ')
3 3 1
2 2 2
essendo ' ' , si ha:
3 a
3
”ss-jsjssjnullnullnullnullnullnull-nullnullnullnullnullnull-jjssjss”ss ja j -jpjast
'
c'
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1 sin ' cos '
' = ' 2c' ,
a 1
1+ sin ' 1+ sin '
poiché risulta:
2 2 2
cos ' 1 sin ' 1 sin ' 1 sin ' 1 sin '
cos ' 1 sin '
= = = = =
1+ sin ' 1+ sin ' 1+ sin ' 1+ sin ' 1+ sin ' 1+ sin '
si ha infine:
' '= ' K 2c' K
3 a 1 a a
1 sin '
ove K = si definisce coefficiente di spinta attiva.
a
1+ sin '
In tutti i punti del terrapieno, dunque, come mostra la Figura 1.2 le superfici di
rottura generate dal raggiungimento dalla condizione di equilibrio limite attivo sono
costituite da una famiglia di piani inclinati a 4 ' 2 rispetto alla direzione di ' .
1
Analogamente, se si produce uno spostamento della parete verso il terreno la
tensione verticale rimane inalterata mentre quella orizzontale, per effetto della
compressione del terreno, cresce fino a raggiungere lo stato limite (o di rottura)
passivo per il quale ' ' ' (Figura 1.3, cerchio 6). In questo caso lo stato
h 1 p
tensionale a rottura è rappresentato dal cerchio di Mohr (Figura 1.6) tangente
all’inviluppo di rottura e passante per il punto ( ' ,0 ). Le superfici di rottura
p
generate dal raggiungimento della condizione limite passiva sono una famiglia di
piani inclinati di 4 + ' 2 rispetto alla direzione di ' .
1
z
'
4 2
'3
B
f
'1
R
'
A Op
c' E D
O C
'3 '1= 'p
'n
'
'
4 2
Figura 1.3 - Rappresentazione del criterio di Mohr-Coulomb per la condizione limite passiva.
4
spjs””ssss-pj-jjsss”---- --jjjjjjjjjjjjj-nullnullnullnullnullnullnullnull-ssjjjj
'
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Dalla Figura 1.3 inoltre, analogamente al caso attivo, si trova:
' ' = ' K + 2c' K
1 p 3 p p
1 1 + sin '
ove K = = si definisce coefficiente di resistenza passiva.
p
K 1 sin '
a
Le due espressioni di ' e ' ottenute rappresentano rispettivamente i valori
p a
della tensione orizzontale in condizione di equilibrio limite attivo e passivo. Si può
osservare che le leggi di variazione in funzione della profondità sono lineari. Queste
relazioni sono valide nelle seguenti ipotesi:
- spinta agente su paratie verticali;
- piano campagna orizzontale;
- terreno dotato di coesione (altrimenti c'= 0 per i terreni non coesivi);
- assenza o presenza di falda;
- analisi di stabilità in condizioni drenate (lungo termine).
In condizioni di breve termine i parametri rappresentativi dell’inviluppo di
rottura diventano:
= c e = 0
f u
Le espressioni della tensione orizzontale in condizione di equilibrio limite attivo e
passivo diventano pertanto:
= 2c +
a u v0
= 2c +
p u v0
1 1 sin 1 sin 0
essendo c la coesione non drenata e K = = = =1
u a
K 1+ sin 1+ sin 0
p
1.2 Determinazione della spinta attiva e della resistenza passiva
Secondo la teoria di Rankine, si perviene alla determinazione della spinta attiva
e della resistenza passiva integrando rispettivamente le espressioni di ' e ' per
a p
tutta la lunghezza della paratia, poiché le tensioni orizzontali in condizioni di
5
ssjj--ss-ssjtss-jjsss”
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equilibrio limite attivo e passivo hanno distribuzione lineare e direzione parallela
all’estradosso del terrapieno.
Per la paratia rappresentata in Figura 1.4, in terreno omogeneo, anidro e dotato
di coesione, si trova:
L
1
2
S = ' dz = K L 2c' K L
a a a a
0
2
L
1
2
R = ' dz = K d + 2c' K d .
p p p a
H
2
in cui H rappresenta l’altezza dello scavo e d la lunghezza del tratto di paratia
ammorsata nel terreno.
Poiché analiticamente l’integrale di una funzione rappresenta l’area del
diagramma sottesa alla curva che descrive la funzione e l’asse delle ascisse, tra i
limiti di integrazione, le spinte possono essere calcolate piø semplicemente come
somma di aree di figure geometriche semplici (triangoli e rettangoli).
P.C.
A
z
F.S.
B
D
Figura 1.4 - Schema generico di una paratia.
Nel caso piø semplice di piano campagna orizzontale, terreno omogeneo, in
assenza di coesione e di falda la distribuzione delle pressioni limite attiva e passiva si
presenta come in Figura 1.5. In questo caso le espressioni della spinta attiva e passiva
si ricavano semplicemente elidendo il contributo della coesione.
L
1
2
S = dz K L
a a a
0
2
L
1
2
R = dz K d
p p p
H
2
6
nullnullsgnullnullsgsgnullsgnull-
L
d H
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S è applicata ad un a profondità pari a L 3 dalla base della paratia, R a d 3
a p
dall’estremità inferiore della paratia.
P.C.
A
z
P
O
F.S.
B
Sa
M
Rp N
W D U
Kpd Ka(H+d)
Figura 1.5 - Paratia in terreno omogeneo, anidro dotato di coesione nulla: distribuzione delle
pressioni limite attiva e passiva.
In presenza di terreni coesivi l’espressione della spinta attiva rivela che la
=' 2c' K + ' K = 2c' K + 'z K
a a v0 a a 0 a
risulta nulla alla profondità:
2c' K
2c'
a
z = =
0
' K
' K
a
a
con valori teorici di trazione alle profondità inferiori. In realtà tali trazioni non
possono prodursi, ma si verificano per z < z fessure di trazione.
0
Per terreni dotati di coesione (c' 0) , dunque, l’espressione generale della
spinta diventa:
L
1
2
2
S = ' dz ' K (L z ) 2c' K (L z )
a a a 0 a 0
z
0 2
e la distribuzione della tensione orizzontale in condizione di equilibrio limite attivo e
passivo è riportata in Figura 1.6. La spinta attiva S in figura è applicata a
a
(L z ) 3 dalla base della paratia dal momento che si trascura il contributo del
0
diagramma in trazione. Alla spinta attiva va aggiunta a rigore la spinta dell’acqua U
7
-sgnullnull---„gg--ssg
L
d H
d/3
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che riempie le fessure apertesi per effetto delle sollecitazione di trazione nello strato
di terreno a profondità pari a z .
0
La resistenza passiva assume la seguente espressione:
L
1
2
R = dz K d + 2c K d
p p p a
H
2
e risulta essere la somma di due componenti, ognuna con punto di applicazione
rispettivamente a d 3 e a d 2 dall’estremità inferiore della paratia.
frattura di
2c K a
P.C.
trazione
A
z
P
U
O
2c K p
F.S.
B
Sa
M
(1)
Rp
(2)
Rp
N
W D U
Kpd+2c K p Ka(L-z0)
Figura 1.6 - Spinta attiva e passiva in terreni dotati di coesione (c’ 0).
In tali casi, è possibile considerare due possibili soluzioni (si veda la Figura
1.7): la prima consiste nel portare la quota z in corrispondenza della quale si ha
0
= 0 a livello del p.c. e la seconda nel considerare il blocco in trazione come un
a
sovraccarico:
2c
q = z = ;
0
K
a
quest’ultimo modo appare probabilmente il piø corretto in quanto si ottiene una
spinta sulla parete maggiore, quindi a favore di sicurezza.
8
gsnullsgnullnull
L
H
d
d/3
d/2
L-z0 z0
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P.C. P.C.
A A
U
F.S. F.S.
Sa
Sa
D U D U
KaL q= z0Ka Ka(L-z0)
Figura 1.7 - Diagrammi alternativi delle pressioni attive per terreni coesivi
1.2.1 Spinte indotte da sovraccarichi
L’applicazione di un sovraccarico uniforme q (Figura 1.8) sul piano campagna
in corrispondenza del terrapieno comporta un aumento della tensione verticale
efficace che diventa pari a:
' = z + q
v0
per cui il valore della spinta risulta anch’esso incrementato di una quantità pari al
sovraccarico moltiplicato per il coefficiente di spinta attiva:
' = ( z + q)K .
a a
Il corrispondente contributo alla spinta agente a tergo della paratia ha il punto
di applicazione a metà dell’altezza totale della paratia ( L ), e risulta:
Q = qK L .
a
Nel caso di terreni stratificati, il peso dello strato superiore oltre ad esercitare
una spinta agisce come sovraccarico sullo strato inferiore. Il diagramma delle
pressioni attive e passivo per un terreno anidro composto da tre strati è mostrato in
Figura 1.9.
9
sgsg
L
d H
(L-z0)/3
L
d H
L-z0 z0
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q
P.C.
A
z
P
O
Q
F.S.
B Sa
M
Rp N
W D U
Kpd qKa KaL
Figura 1.8 - Spinta attiva e passiva in presenza di sovraccarico q.
P.C.
A
O
P
(1)
strato 1
Sa
(2)
Sa
(3) strato 2
Sa
F.S.
(1)
Rp
(4)
(2)
Rp Sa
(3) (5)
strato 3
Rp
Sa
Figura 1.9 - Andamento delle spinte in un terreno multistrato.
10
L
L
d H
d H
d/3
L/3
L/2
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Al passaggio da uno strato all’altro si ha variazione di pendenza quando cambia
il peso dell’unità di volume del terreno. Se invece due strati contigui presentano gli
angoli di attrito interno o la coesione differenti, i coefficienti di spinta attiva e
passiva risulteranno differenti ed il diagramma all’interfaccia fra gli strati presenterà
un salto.
In questo caso, per calcolare la spinta risultante attiva e passiva è necessario
sommare le singole componenti calcolate separatamente per ciascuno strato.
1.3 Influenza dei movimenti della struttura sul regime di spinta
Gli spostamenti necessari alla mobilizzazione della spinta attiva, nell’ordine
dello 0,1÷0,2% della altezza totale della paratia, sono significamene inferiori a quelli
richiesti per la mobilizzazione della resistenza passiva, variabili dal 2÷8% per le
sabbie dense al 5÷20% per sabbie sciolte. Dunque, se non vi è sufficiente
spostamento laterale, la pressione sulla parete risulta indeterminata.
Il movimento di una struttura di sostegno, può produrre un cambiamento negli
sforzi nelle vicinanze della causa disturbatrice, mentre la restante parte rimane in
equilibrio elastico. Infatti, una rotazione intorno alla base (Figura 1.10a) comporta la
mobilizzazione della resistenza massima in prossimità della superficie del terreno del
fondo scavo e, solo per successive ulteriori rotazioni, è possibile raggiungere la
condizione limite lungo la restante l’altezza. Al contrario, se la rotazione avviene
intorno alla testa della paratia (Figura 1.10b), si ha inizialmente sviluppo della
resistenza passiva in prossimità del piede. Solo una traslazione orizzontale rigida
della paratia comporterebbe l’espansione o la compressione uniforme del terreno, e
dunque una distribuzione delle pressioni nel terreno in accordo con la teoria di
Rankine.
Tuttavia, nella realtà, la mobilizzazione della resistenza passiva comporta una
rottura progressiva, con un valore medio della resistenza al taglio lungo la superficie
di scorrimento, inferiore al valore di picco. ¨ comunque prassi comune effettuare
l’analisi in equilibrio plastico, riferendosi ad una situazione ideale, sia per ragioni di
convenienza che per le incertezze connesse alla determinazione dei parametri del
terreno con un livello elevato di affidabilità.
11
Capitolo 1 SPINTA DELLE TERRE: ANALISI LIMITE E PROGETTO DELLE STRUTTURE DI SOSTEGNO FLESSIBILI
P.C. P.C.
A O A O
P P
F.S. F.S.
B B
a) b)
C C
Figura 1.10 - Possibili rotazioni della paratia.
Infine, se i vincoli imposti all’opera sono tali da impedirne ogni movimento, il
regime di spinta è prossimo a quello di spinta a riposo K ed è raccomandato l’uso
0
dei coefficienti di spinta a riposo. Alcuni valori orientativi di K sono riportati in
0
Tabella 1.1 per terreni differenti.
Tabella 1.1 - Valori del coefficiente K per il calcolo della spinta a riposo.
0
Tipologie di terreni K
0
Sabbia densa 0.35 – 0.40
Sabbia sciolta 0.55 – 0.60
Argille tenere 0.50 – 0.60
Sabbia compatta 1.00 – 1.50
Argilla compatta 1.00 – 2.00
1.4 Presenza dell’acqua nel terrapieno
I casi illustrati precedentemente fanno riferimento per semplicità a situazioni in
cui l’acqua è assente. Quando essa è presente occorre valutare sia la spinta esercitata
dal terreno che quella esercitata dall’acqua stessa, a seconda delle condizioni
stazionarie o di filtrazione che si possono verificare. Poiché tale spinta è spesso non
12
nullnull
Capitolo 1 SPINTA DELLE TERRE: ANALISI LIMITE E PROGETTO DELLE STRUTTURE DI SOSTEGNO FLESSIBILI
trascurabile, è opportuno cercare almeno di ridurne almeno l’entità mediante appositi
sistemi di drenaggio.
Si noti inoltre che nonostante l’acqua aumenti sensibilmente il valore della
spinta globale agente sulla paratia, essa non altera i coefficienti di spinta del terreno.
1.4.1 Condizioni di equilibrio in assenza di filtrazione
Nei casi semplici di terrapieno completamente o parzialmente sommerso, il
calcolo è analogo a quello già visto in precedenza per la parte di terreno al di sopra
della falda; mentre al di sotto di essa, trascurando i moti di filtrazione, occorre
scindere l’aliquota di spinta dovuta al terreno (da calcolare usando il peso di volume
efficace ') da quella dovuta all’acqua. L’espressione della pressione neutra, in
condizioni idrostatiche, risulta variabile linearmente con la profondità:
u= (z z )
w w
essendo z la quota della falda dal pino campagna (si veda la Figura 1.11).
w
Se z = 0 , la falda è a piano campagna, l’espressione diventa:
w
u = z .
w
P.C.
A
P O
z
F.S.
B
(1)
Sa U
(2)
Rp
U
W
D U
wd Kpd ( h+d)K a w( h+d)
Figura 1.11 - Spinte in presenza di condizioni idrostatiche, livello di falda a piano campagna.
13
g-gg
L
H
d
h
zp
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Nel caso in Figura 1.11, trascurando la coesione del terreno, la pressione attiva
e passiva risultano rispettivamente:
' = ' K = ' zK
a v0 a a
'= ' K = '(z H )K .
p v0 p p
Nel caso in Figura 1.12, la pressione attiva è espressa in termini totali fino alla
quota di falda z :
w
= K = zK ,
a v0 a a
a profondità maggiori di z , invece:
w
'= ' K = '(z z )K ,
a v0 a w a
mentre l’espressione della pressione passiva non si modifica rispetto al caso
precedente.
P.C.
A
O
P
(1)
S a
z
C
E
F.S.
B
(2)
S a
(3)
(1)
S a U
(2)
Rp
U
W D F U
( h+d)K a
wd Kpd zwKa w( h+d)
Figura 1.12 - Spinte in presenza di condizioni idrostatiche, livello di falda a quota z .
w
Nel caso di terrapieno parzialmente sommerso (Figura 1.12), analogamente al
caso di paratia in presenza di terreni stratificati, il peso dello strato superiore (sopra
falda) può essere considerato come sovraccarico agente sullo strato piø basso (sotto
falda). Al passaggio da uno strato all’altro i diagrammi delle spinte presenteranno
una variazione di pendenza, in quanto non varia il coefficiente di spinta K (il
a
terreno in realtà è omogeneo) ma soltanto il peso dell’unità di volume.
14
ssg-ssgssg-ssg
L
d H
h zw
zp
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