Studio della stabilità a piccole perturbazioni nelle grandi reti elettriche: ottimizzazione del regolamento con un metodo metaeuristico

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INTRODUZIONE GENERALE 
 
 
Da una ventina d’anni, i sistemi di potenza devono far fronte a sfide molto 
importanti. La liberazione del mercato dell’elettricità crea scenari di funzionamento 
molto più complessi rispetto al passato. Il permanente aumento della dipendenza 
elettrica della società implica un funzionamento dei sistemi di potenza al 100% della 
loro capacità e una sicurezza massimale. Inoltre, la qualità della potenza elettrica è 
attualmente divenuta una grande preoccupazione per i consumatori e i fornitori. Di 
conseguenza, sono sempre più necessari rigorosi criteri di sviluppo e di funzionamento. 
In tali condizioni, la stabilità dei sistemi di potenza diviene una delle maggiori 
preoccupazioni per i fornitori di elettricità. Questi sistemi devono rimanere stabili per 
tutte le piccole variazioni in vicinanza dei punti di funzionamento, nonché per 
condizioni severe. Di conseguenza, nuovi metodi e le nuove tecnologie che consentono 
di migliorare la stabilità dei sistemi sono oggetto di lavori di ricerca estremamente 
importanti. 
Tenendo conto della varietà delle condizioni di funzionamento e della gravità 
degli incidenti, le apparecchiature di comando attualmente installate sulle reti possono 
rivelarsi troppo limitate o insufficienti per rispondere in modo efficace alle diverse 
perturbazioni. Di conseguenza, gli operatori di rete cercano di ottimizzarne il 
funzionamento pur mantenendo un livello di sicurezza soddisfacente. 
Un sistema di potenza è un sistema altamente non-lineare funzionante in un 
ambiente in continua evoluzione: cariche, potenza di generazione, topologia della rete, 
ecc. Il sistema può quindi essere sottoposto a perturbazioni; la perturbazione può essere 
debole o importante. Piccole perturbazioni, sotto forma di variazioni di carica, si 
producono continuamente. Il sistema deve essere in grado di “rispondere” in modo 
soddisfacente ai bisogni della carica. Il sistema deve anche essere in grado di resistere a 
numerose perturbazioni di natura severa, come il fulmine, la perdita di un’unità di 
generazione, un corto circuito su una linea di trasmissione, ecc. 
In seguito ad una perturbazione transitoria, se il sistema è debole raggiungerà un 
nuovo stato di equilibrio. Se è instabile, ciò si tradurrà, per esempio, con un progressivo 
aumento dello scarto tra gli angoli rotore dei generatori o con un progressivo calo delle 
tensioni dei nodi della rete. Uno stato instabile del sistema potrà condurre a guasti a 
cascata e ad una disconnessione di gran parte della rete elettrica.  
Le oscillazioni dei sistemi di potenza sono state predette fin dalla prima 
installazione di un sistema di potenza. Un sistema avente vari generatori interconnessi 
tramite una rete di trasporto si comporta come un insieme di masse interconnesse da una 
rete di molle e presenta modi di oscillazione multipli. L’ammortizzamento delle 
oscillazioni è sempre stato considerato come un elemento importante per il buon 
funzionamento dei sistemi di potenza. Una prima soluzione per ammortizzare tali 
oscillazioni è così scomparsa, ma l’ammortizzamento globale del sistema è sempre 
rimasto ignorato (Farmer, 2006). 
Vari punti considerati evidenti in questo momento restano sempre validi: 
- le oscillazioni a debole frequenza (tra 0.2 e 2 Hz) si producono nei sistemi di 
potenza a causa dell’insufficienza delle coppie di ammortizzamento che agiscono 
sui rotori dei generatori;
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- le oscillazioni compaiono principalmente nel sistema sotto due forme: 
o le oscillazioni dei modi locali, associate principalmente a un generatore 
e ai relativi controllori; 
o le oscillazioni dei modi interregionali, associate a un gruppo di 
generatori e alle proprietà del sistema (configurazione della rete di 
trasporto, scorrimento di potenza, ecc.). 
- le oscillazioni dei rotori dei generatori provocano delle fluttuazioni su 
variabili elettriche (tensioni, potenze attive e reattive, frequenza, ecc.), da cui 
l’origine del loro nome: oscillazioni elettromeccaniche.  
- il regolatore di tensione AVR (Automatic Voltage Regulator) del sistema di 
eccitazione del generatore è praticamente l’unica fonte responsabile delle 
oscillazioni del sistema; 
- dopo avere stabilito le fonti delle oscillazioni, è naturalmente auspicabile 
identificare, per motivi economici e di affidabilità, i punti più efficaci per 
aggiungere i dispositivi di ammortizzamento necessari. 
Dagli anni ’60, i processi di interconnessione tra i sistemi di potenza sono 
fortemente aumentati e le reti di trasporto si sono estesi su regioni vaste. Inoltre, la 
liberalizzazione del mercato dell’elettricità ha provocato un aumento del caricamento 
delle reti di trasporto. 
Questa evoluzione è stata accompagnata dalla ricomparsa del problema delle 
oscillazioni. I motivi di questa ricomparsa possono essere riassunti come segue 
(Dandeno et al., 1968; Farmer, 2006): 
- l’utilizzo di regolatori di tensione caratterizzati da risposte rapide e da 
guadagni elevati (necessari per migliorare la stabilità transitoria) aumenta la 
potenzialità di ammortizzamento negativo; 
- gli avvolgimenti ammortizzanti non sono più sufficientemente efficaci nei 
sistemi interconnessi a causa dell’alta impedenza esterna vista da tali sistemi; 
- l’aumento del numero dei controllori automatici messi in servizio nei 
sistemi aumenta la probabilità di interazioni nefaste tra i controllori; 
- le piccole oscillazioni prodotte in ogni generatore, eventualmente non 
significative a titolo individuale, possono accrescere l’impatto negativo delle 
oscillazioni delle linee di interconnessione che si estendono sul sistema; 
- le oscillazioni elettromeccaniche implicano vincoli meccanici considerevoli, 
se non pericolosi, sulle masse girevoli dei generatori.  
 
In queste nuove condizioni, le oscillazioni rappresentano un problema 
considerevole dei grandi sistemi di potenza. Il problema di tali oscillazioni viene così 
ridefinito dal loro ruolo importante nella stabilità dell’angolo rotore a piccole 
perturbazioni (chiamata stabilità dinamica) potendo condurre alla perdita di sincronismo 
e ad una restrizione della potenza trasmissibile nel sistema. Il miglioramento della 
stabilità a piccole perturbazioni, in particolare il miglioramento delle oscillazioni 
interregionali, diventa così sempre più importante (Samouhi, 1983; Sadeghzadeh, 1998; 
Snyder, 1999; Roosta, 2003). 
Per superare il problema delle oscillazioni elettromeccaniche e migliorare 
l’ammortizzamento del sistema, vengono introdotti segnali supplementari di 
stabilizzazione nel sistema di eccitazione tramite il relativo regolatore di tensione. 
Questi segnali produrranno delle coppie in fase con la variazione di velocità di
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generatore per compensare il ritardo di fase introdotto dal sistema di eccitazione. Gli 
stabilizzatori di potenza (Power System Stabilizers, PSS), grazie ai loro vantaggi in 
termini di costo ed efficacia, sono i modi abituali non soltanto per eliminare gli effetti 
negativi dei regolatori di tensione, ma anche per ammortizzare le oscillazioni 
elettromeccanici e assicurare la stabilità globale del sistema (DeMello et al., 1978; 
Larsen et al., 1981, I). 
 
Convenzionalmente, per regolare i parametri dello PSS, le equazioni del modello 
non-lineare del sistema sono linearizzate attorno al punto di funzionamento, e le 
tecniche di controllo lineare vengono applicate in seguito. I parametri dello PSS 
vengono allora fissati ad alcuni valori corrispondenti a determinate condizioni di 
funzionamento. È importante ricordare che i parametri del generatore variano con la 
carica: il comportamento della macchina varia a seconda dei punti di funzionamento. I 
PSS devono quindi essere regolati e coordinati in modo che la stabilità globale del 
sistema sia garantita per una grande varietà di punti di funzionamento.  
Oltre al problema della regolazione dei PSS, la scelta della loro ubicazione 
rappresenta un fattore critico per ottenere una performance ottimale di stabilizzazione. 
Uno PSS può essere “ben” regolato per migliorare l’ammortizzamento di un mezzo, ma 
può produrre effetti nocivi per altri modi. Inoltre, ubicazioni differenti provocano 
oscillazioni differenti a seconda dei punti di funzionamento. 
In numerose ricerche, viene scelta l’ubicazione dei PSS prima di affrontare 
l’analisi dei possibili metodi di regolazione. Il metodo dei fattori di partecipazione (FP) 
è stato utilizzato in modo intensivo per identificare le possibili aree di ubicazione dei 
PSS (Abdel-Magid et al., 1999; Do Bomfim et al., 2000; Abdel-Magid et al., 2003). 
In generale, un numero troppo considerevole o un cattivo posizionamento dei PSS 
può provocare un disfunzionamento del sistema. È quindi essenziale “ben localizzare” e 
scegliere un adeguato numero di PSS per ridurre questi effetti indesiderabili. 
In letteratura, sono stati proposti vari approcci che utilizzano l’algoritmo genetico 
(AG) per la robusta regolazione dei PSS nelle reti multi-macchina (Abdel-Magid et al., 
2003; Hongesombut et al., 2004; Rashidi et al., 2004; Hongesombut et al., 2005; Panda 
et al., 2007). Il vantaggio degli AG rispetto alle altre tecniche di ottimizzazione, è la 
loro indipendenza rispetto alla complessità dei problemi. Inoltre, esso lavora su un 
insieme di punti (una popolazione) e non su un solo punto. L’AG è quindi un metodo di 
ottimizzazione globale. 
Il PSS è sempre considerato un mezzo efficace per l’ammortizzamento dei modi 
elettromeccanici locali ma, nello stesso tempo, il suo ruolo nell’ammortizzamento dei 
modi interregionali resta sempre considerato debole. L’obiettivo del nostro lavoro è 
quindi quello di assicurare un ammortizzamento massimo dei modi tanto interregionali 
quanto locali. A tal fine, proponiamo una regolazione ottimale dei PSS con la migliore 
localizzazione possibile e il numero più debole di PSS. Ciò consente di assicurare un 
ammortizzamento soddisfacente delle oscillazioni rotoriche e di garantire la stabilità 
globale del sistema per diversi punti di funzionamento. Abbiamo quindi sviluppato un 
programma di AG con una funzione multi-scopo basata sull’analisi dei valori propri del 
sistema (parte reale del valore proprio e fattore di ammortizzamento. 
Per verificare le performance del metodo proposto, abbiano analizzato una rete 
multi-macchina comprendente 16 generatori e 68 nodi (New England/New York), 
(Rogers, 2000).
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Per valutare i risultati ottenuti, applichiamo un metodo di analisi nel settore 
complesso, ovvero il metodo dei valori propri, per determinare le varie modalità del 
sistema. Tale analisi fornisce informazioni importanti sulla stabilità del sistema 
indicando la presenza dei modi mal o non ammortizzati. Può inoltre essere stabilita 
l’origine di questi modi. L’analisi della stabilità è stata completata dalla simulazione del 
modello non-lineare originale in campo temporale.  
Il primo capitolo della nostra tesi riguarda la modellizzazione generale di un 
sistema di potenza adattato allo studio della stabilità angolare a piccole perturbazioni. 
Esso presenta anche l’analisi per valori propri e l’analisi modale basate sulla 
linearizzazione del modello. 
Nel secondo capitolo, abbiamo richiamato la stabilità secondo Lyapunov. 
Abbiamo anche ricordato le caratteristiche dei vari tipi di stabilità di un sistema di 
potenza. In seguito, abbiamo studiato, nel dettaglio, la stabilità angolare a piccole 
perturbazioni con gli stabilizzatori di potenza (PSS). 
Il terzo capitolo riguarda una presentazione teorica degli algoritmi genetici, che è 
il metodo di ottimizzazione utilizzata in questo lavoro. 
Il quarto capitolo presenta la rete test studiata (rete multi-macchina interconnesso 
di New York/New York). Viene anche presentato l’approccio proposto. L’obiettivo è di 
migliorare l’ammortizzamento delle oscillazioni elettromeccaniche (associate ai modi 
globali e locali). A tal fine, proponiamo un’ottimizzazione globale dei parametri, della 
localizzazione e del numero di PSS necessari per assicurare una performance robusta. 
Abbiamo anche analizzato la reazione del sistema (in modello lineare e non-lineare) 
durante l’applicazione di vari scenari severi (analisi e discussione dei risultati). 
 
Il quinto capitolo si propone di migliorare la performance dell’ottimizzazione e 
l’accelerazione della convergenza di un AG. Durante l’ottimizzazione del problema, 
questo approccio consente di adattare lo spazio di ricerca al processo di ottimizzazione 
garantendogli dei vincoli dinamici adattativi.
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Capitolo I 
 
Modellizzazione del sistema di 
potenza
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1.1- Introduzione. 
 
Una grande rete elettrica (chiamata anche sistema di potenza) si compone di 
elementi (generatori, trasformatori, linee, ecc.) interconnessi e più o meno numerosi a 
seconda della dimensione della rete, che formano un sistema complesso in grado di 
generare, di trasmettere e di distribuire l’energia elettrica attraverso vaste estese 
geografiche (figura 1). Un modello matematico tipico non ridotto di un “grande” 
sistema può contenere fino a 15.000, se non più, variabili di stato (Farmer, 2006). I 
sistemi di potenza moderni sono così caratterizzati da dimensione e complessità 
crescenti. Più la dimensione di un sistema di potenza aumenta, più i processi dinamici e 
l’analisi dei fenomeni fisici sottostanti sono complessi. Oltre alla loro dimensione e 
complessità, i sistemi di potenza presentano un comportamento non lineare e variante 
nel tempo. Le non linearità possono essere introdotte con elementi a funzionamento 
discontinuo, quali relè, tiristori, ecc…, tramite elementi con isteresi o saturazione. Ai 
nostri giorni, tale complessità strutturale influenza sempre di più l’evoluzione dei 
problemi di stabilità e dei fenomeni dinamici nei sistemi di potenza interconnessi.  
 
 
 
Produzione 
 
 
 
 
Trasporto 
 
 
 
 
Distribuzione 
 
 
 
 
Carichi 
 
 
 
Figura 1. I vari livelli di un sistema di potenza. 
 
 
I grandi componenti di un sistema di potenza possono essere rappresentati con uno 
schema a blocchi, come mostra la figura 2 (Sauer et al., 1998). Questa rappresentazione 
non mostra tutte le interazioni dinamiche tra gli elementi e i loro controlli, ma può 
servire per una descrizione generale per le strutture dinamiche. 
Lo studio della performance dinamica di un sistema di potenza è molto importante 
per gli operatori del sistema (punto di vista economico) e per la società in generale 
(punto di vista dell’affidabilità). Una tappa essenziale di questo tipo di studio è di 
comprendere fisicamente e matematicamente i fenomeni dinamici di interesse. La 
modellizzazione e la simulazione effettuate del sistema possono in seguito rifletterne il 
comportamento critico.
9 
 
 
   Altri 
 
   generatori 
 
   Regolatore 
 
   di tensione 
 
 Sistema della   
 
 forza motrice 
ω V 
 
   
   Generatore 
 
Fonte    
 
di energia    
 
Controllo 
Regolatore 
  
 
della fonte 
   
di frequenza 
  
 
di energia 
   
  
Potenza di 
 
    
   generazione 
 
 
 
Rete di trasporto 
 
 
 
 
 
 
Carichi 
 
 
 
 
Altri sistemi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potenza 
 
trasmessa 
 
 
Segnali di controllo della     
Frequenza de  
potenza di generazione desiderata 
     
Sistema di controllo centrale 
sistema  
   
    
Frequenza di 
  
      
 
Programmazione 
 
 
riferimento del 
  
di potenza 
    
      
sistema  di trasmissione  
 
Figura 2. Struttura generale di un sistema di potenza.  
 
 
 
1.2- I fenomeni dinamici. 
 
In un sistema di potenza, è in grado di prodursi una grande varietà di fenomeni 
dinamici diversi. Tali fenomeni dinamici hanno delle caratteristiche e delle origine fisiche 
differenti e si producono in gamme di tempi diverse. 
In genere, un fenomeno dinamico comincia con una perturbazione, l’azione di un 
controllore, una manovra di perturbazione, ecc. 
A seconda del livello della perturbazione d’origine, possiamo distinguere due classi 
di fenomeni dinamici: 
 
- le “piccole” perturbazioni. Si tratta di fluttuazioni normali, di debole 
ampiezza, delle grandezze elettriche o meccaniche (ad esempio, variazione continua 
di carico). Questi fenomeni si manifestano di solito nel sistema con deboli 
oscillazioni transitorie spesso poco ammortizzate;  
- le “grandi” perturbazioni. Questo tipo di perturbazione corrisponde, ad 
esempio, ad un corto circuito su una linea di trasmissione, alla perdita di un 
generatore, ecc. Queste, al contrario, provocheranno oscillazioni importanti.  
 
Al fine di comprendere meglio i meccanismi di instabilità dei sistemi di potenza, 
devono essere definiti e classificati i vari fenomeni dinamici. Se si tiene conto dei loro 
caratteri fisici, nonché delle loro zone di risposta temporali, i fenomeni dinamici sono di
10 
 
solito divisi in quattro gruppi: (Machowski et al., 1998). 
 
 
1.2.1- I fenomeni di propagazione. 
 
Essi si producono nelle linee di trasmissione ad alta tensione di grande lunghezza e 
corrispondono alla propagazione delle onde elettromagnetiche provocati da colpi di 
fulmine o da operazioni di interruzione/chiusura. La gamma di tempi della dinamica di 
questi fenomeni va dal microsecondo al millisecondo. Essi possiedono le dinamiche più 
rapide. 
 
1.2.2- I fenomeni elettromagnetici. 
 
Essi hanno principalmente luogo negli avvolgimenti dei generatori e dei motori 
(avvolgimenti ammortizzanti di armature e) e nei dispositivi elettronici di potenze. Essi 
scorrono da una perturbazione (come un corto circuito), da un’operazione di un sistema di 
protezione, da una commutazione (tiristore, ecc.) o da un’interazione tra le macchine 
elettriche e la rete. 
Tali fenomeni generano correnti e coppie elevate all’interno dei generatori su una 
scala di tempi tipica di diversi millisecondi. Al di là di questi lassi di tempo, le inerzie 
della turbina e del generatore sono sufficienti ad impedire ogni importante variazione 
della velocità del rotore. 
 
1.2.3- I fenomeni elettromeccanici. 
 
I fenomeni elettromeccanici comprendono principalmente i campi di rotori, gli 
avvolgimenti ammortizzanti e le inerzie dei rotori. Essi sono principalmente dovuti ai 
movimenti delle masse girevoli dei generatori e dei motori. Essi si producono in seguito a 
una perturbazione, un’operazione di comando sul sistema di controllo di tensione o sul 
controllo della turbina. La gamma di tempi di questi fenomeni si estende da circa un 
secondo a più secondi. Tale scala di tempi è ritenuta sufficientemente grande affinché i 
fenomeni siano influenzati dalla turbina e dai sistemi di comando di generatore. In questa 
gamma di tempi, le variazioni di velocità di rotori, accoppiate alle variazioni 
elettromagnetiche, producono allora effetti elettromeccanici. 
 
1.2.4- I fenomeni termodinamici. 
 
I fenomeni termodinamici si sviluppano nelle caldaie delle centrali termiche 
durante la richiesta di comando automatico di generazione, applicata in seguito ad una 
perturbazione di equilibrio tra la produzione e il consumo di potenza. Essi si estendono da 
alcune decine di secondi ad alcune decine di minuti: essi presentano così le dinamiche più 
lente. 
La figura (3) mostra la classificazione dei fenomeni dinamici sopra spiegati. 
Una "buona" comprensione fisica e matematica del sistema e dei fenomeni associati 
consente di comprendere meglio la modellizzazione e la simulazione del sistema per 
riflettere i comportamenti critici di quest’ultimo. Il paragrafo seguente definisce il
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modello matematico utilizzato e i relativi elementi. 
 
 
 
Figura 3. Caratteristiche dei fenomeni dinamici riscontrati nei sistemi di potenza. 
 
 
1.3- Il modello generale non lineare 
 
1.3.1- Introduzione 
 
La prima tappa quando si vuole analizzare e comandare un sistema elettrico di 
potenza consiste nel trovare un “buon” modello matematico. Generalmente, un modello, 
nell’analisi dei sistemi, è un insieme di equazioni o di relazioni, che descrive in maniera 
conveniente le interazioni tra le variabili studiate, nella gamma di tempo considerata e 
con la precisione desiderata, per un elemento o un sistema. Di conseguenza, secondo lo 
scopo dell’analisi, un elemento, o anche un sistema fisico, può dare luogo a modelli del 
tutto diversi. 
In molti casi, la scelta del modello corretto è spesso la parte più difficile dello 
studio. Il punto essenziale è trovare il “buon modello” che realizzi un compromesso tra la 
fedeltà del comportamento qualitativo e quantitativo e la semplicità di realizzazione a 
scopi di analisi e di sintesi. I modelli complessi necessitano generalmente di un numero 
più importante di parametri. Inoltre, l’ottenimento di valori affidabili per tali parametri 
esige un lavoro importante. Infine, se si utilizzano i metodi troppo complessi, l’analisi e i 
calcoli sono inutilmente “voluminosi” e anche l’interpretazione del risultato esige un 
lavoro molto importante (Andersson, 2006). 
In genere, per stabilire un modello di rete elettrica per gli studi dinamici, si tiene 
unicamente conto delle attrezzature in attività durante l’arco temporale del fenomeno 
dinamico considerato. Il risultato è quindi il modello di conoscenza completo del sistema: 
esso si compone di equazioni differenziali ordinarie non lineari e di equazioni algebriche 
(Kundur, 1994). 
Dinamiche di 
propagazione 
Dinamiche 
elettromagnetiche 
Dinamiche 
elettromeccaniche 
Dinamiche 
termodinamiche 
microsecondi       millisecondi            secondi         minuti
12 
 
I modelli presentati in questo modello riguardano gli elementi seguenti: 
- le unità di produzione: generatori elettrici, sistemi di eccitazione, turbine e sistemi 
di controllo associati; 
- i trasformatori e le linee di trasmissione della rete di trasporto; 
- i carichi per la parte di consumo. 
 
1.3.2- Gli elementi del modello 
 
1.3.2.1- Modello del generatore 
 
L’energia elettrica è generalmente prodotta dalle macchine sincrone. Queste sono 
caratterizzate da una velocità di rotazione dell’albero di uscita di ogni macchina uguale 
alla velocità di rotazione del campo rotante. Per ottenere un tale funzionamento, viene 
applicata una coppia meccanica generata da una fonte di energia primaria, (ad esempio, 
l’energia idraulica, l’energia nucleare o l’energia chimica) sopra l’asse della macchina 
sincrona tramite un collegamento meccanico intermedio, ovvero la turbina. Il campo 
magnetico rotorico è di solito generato da un circuito di eccitazione alimentato da una 
corrente continua. La posizione del campo magnetico rotorico è quindi fissa rispetto al 
rotore: in funzionamento normale, ciò impone una velocità di rotazione identica tra il 
rotore e il campo rotante statorico. Gli avvolgimenti statorici sono quindi sottoposti a 
campi magnetici che variano periodicamente. Una f.e.m. di corrente alternativa è quindi 
indotta nello statore. 
I generatori sincroni partecipano in modo estremamente importante ai fenomeni 
dinamici e alla qualità globale dell’alimentazione in energia. Risulta quindi necessario 
sviluppare diversi modelli pratici e realisti delle macchine sincrone. In questo capitolo, 
presenteremo e discuteremo un modello adattato all’analisi della stabilità dinamica. 
 
1.3.2.1.1- Modello della macchina sincrona nel riferimento di Park 
 
Nella macchina ideale, lo statore è munito di tre avvolgimenti a, b, c che distano tra 
loro di 120 gradi. Il rotore comporta un certo numero di avvolgimenti ripartiti su due assi: 
l’asse d (asse diretto) che coincide con quello dell’avvolgimento di eccitazione, e l’asse q 
(asse quadratico) in quadratura rispetto all’asse diretto (Custem, 2002, II). 
Per sopprimere la non linearità tra le grandezze dello statore e quelle del rotore, gli 
avvolgimenti della macchina devono essere ordinati secondo due assi perpendicolari. 
Ogni macchina è modellizzata nel proprio riferimento locale (d-q) girando col proprio 
rotore (Andersson, 2006). Per formalizzare l’accoppiamento tra le equazioni del sistema e 
stabilire le equazioni che descrivano il comportamento del sistema globale, tutte le 
tensioni e le correnti devono essere rappresentate in un solo riferimento comune a tutte le 
macchine. Generalmente, un riferimento alla velocità sincrona funge da riferimento 
comune. Un approccio di questo tipo può essere realizzato dalla trasformazione di Park. 
Lo sviluppo di tale trasformazione è dato nell’allegato A. 
La figura (4) mostra schematicamente gli avvolgimenti e i sensi delle correnti in 
una macchina sincrona. La figura (5) fornisce il modello equivalente nel riferimento di 
Park (d-q). I vari avvolgimenti nelle due rappresentazioni sono i seguenti:
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- i tre avvolgimenti statorici a, b e c e gli avvolgimenti equivalenti d
s
 e q
s
; 
- l’asse diretto comporta l’avvolgimento di eccitazione f ed un avvolgimento 
ammortizzatore d
a
; 
- l’asse in quadratura comporta un avvolgimento ammortizzatore q
a
. 
Notiamo infine che l’avvolgimento di eccitazione è sottoposto ad una tensione V
f
 
mentre i circuiti da, qa sono permanentemente in corto circuito. 
 
 
 
Figura 4. Modellizzazione della macchina sincrona idealizzata 
 
 
 
Figura 5. Modello della macchina sincrona nel riferimento di Park
14 
 
 
1.3.1.2- Le ipotesi del modello 
 
Il modello del generatore e dei relativi controlli si limita di solito alle equazioni 
differenziali ordinarie accoppiate tra loro attraverso le equazioni algebriche della rete di 
trasporto. Ogni equazione differenziale esprime la derivata di una variabile di stato (la 
tensione di eccitazione, l’angolo rotore, ecc.) in funzione di altre variabili di stato e di 
variabili algebriche. Il numero delle equazioni differenziali che descrive il modello del 
generatore definisce l’ordine del modello. Esistono diversi modelli, dal più semplice – il 
modello classico rappresenta soltanto le caratteristiche elettromeccaniche del generatore – 
al più complesso, ovvero il modello di ottavo ordine tenendo conto di tutti i circuiti di 
rotore, di statore, di ammortizzamento e di campo di saturazione (Anderson et al, 2003).  
Negli studi delle oscillazioni elettromeccaniche, il modello del generatore deve mostrare 
due caratteristiche fondamentali, ovvero: le caratteristiche elettriche degli avvolgimenti di 
eccitazione e le caratteristiche meccaniche dell’albero del generatore. 
Le diverse ipotesi considerate per stabilire questo modello sono basate trascurando 
l’influenza: 
- delle resistenze rotoriche e statoriche; 
- degli avvolgimenti ammortizzatori; 
- del campo di saturazione; 
- dei fenomeni transitori nello statore; 
- della variazione di velocità nelle equazioni di tensione dello statore (così ω
r
 = ω
o
 
= 1 [p.u.]. Tale supposizione viene fatta per compensare l’effetto di annullamento dei 
fenomeni transitori nello statore). 
Questo modello trascura anche l’ammortizzamento che è prodotto dalle correnti di 
Foucault nel corpo del rotore (si suppone che la f.e.m. transitoria che segue l’asse d, ossia 
E’
d
, sia costante). Poiché non vi è alcun avvolgimento sull’asse in quadratura per 
rappresentare il corpo del rotore, avremo quindi: 
 
E’
d
 = 0,  X’
q
 = X
q
 
 
E’
d
 : f.e.m. del generatore indotta seguendo l’asse d, in p.u. 
X’
q
: reattanza sincrona di asse q, in p.u. 
X
q
: reattanza transitoria di asse q, in p.u. 
 
Infine, supporremo che l’angolo rotore δ (posizione angolare del rotore rispetto al 
riferimento al sincronismo) coincida con l’angolo della tensione interna del generatore. 
Il modello risultante è il modello del terzo ordine. Esso è descritto dalle seguenti 
variabili di stato: 
E’
q
: f.e.m. del generatore indotta seguendo l’asse q, in p.u. 
ω: velocità angolare del rotore, in p.u. 
δ: angolo di rotore, in radicale. 
Questo modello, ben adattato allo studio della stabilità dinamica, è il più semplice. 
Esso è ampiamente utilizzato nell’analisi dei valori propri e anche nella regolazione dei 
parametri degli stabilizzatori di potenza (Sauer et al. 1998).
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1.3.2.1.3- Equazioni elettriche 
 
Consideriamo una prima macchina di una rete multi-macchina. In tale paragrafo, 
determineremo le equazioni algebriche dello statore di questa macchina, vale a dire le 
equazioni riguardanti le tensioni che seguono gli assi d e q e le potenze elettriche. 
Le grandezze elettriche di questa macchina sono rappresentate sulla figura (6). 
Prima di iniziare il calcolo, possiamo fare le considerazioni seguenti: 
- il riferimento (d
i
, q
i
) riguarda soltanto la prima macchina, mentre il riferimento (D, 
Q) è comune a tutte le macchine del sistema; 
- l’angolo di coppia δ
i 
visto tra D e q
i
, della prima macchina rispetto al riferimento 
comune (D, Q): esso varia costantemente nel tempo e può essere positivo o negativo (Yu, 
1983). 
 
 
Figura 6. Fasori relativi alla prima macchina di un sistema multi-macchina. 
 
 
Secondo la figura (6), la tensione terminale della prima macchina del sistema può 
determinarsi con l’equazione seguente: 
 
      (1) 
 
Notiamo nel riferimento comune (D, Q) le espressioni seguenti: