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Support Vector Machines e apprendimento statistico per l'analisi non parametrica della regressione: nuovi sviluppi teorici, software e applicazioni finanziarie

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48Capitolo 4. Support Vector Machines
di apprendimento è infatti determinante per stabilire la capacità previsiva
del modello, poiché la sua misura di capacità è fortemente influenzata dalla
funzione kernel implementata.
Non tutte le generiche funzioni di vettore possono però rappresentare un
prodotto interno nello spazio delle caratteristiche. Occorre quindi definire
10
alcune proprietà fondamentaliche una funzione deve rispettare per essere
considerata una funzione kernel adatta alla tecnica di apprendimento SVM.
Innanzitutto una funzione kernel deve essere simmetrica
¡¢¡¢
00
00
kx,z=φ(x)φ(z)=φ(z)φ(x)=kz,x
e soddisfare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
¡¢¡¢¡¢
2
000
kx,z≤kx,xkz,z.
Queste due condizioni non sono però sufficienti ad assicurare che una
0
funzione k(x,z) fornisca implicitamente il prodotto interno di due vettori
mappati nello spazio delle caratteristiche. Essa infatti deve soddisfare anche
11
le condizioni del seguente Teorema.
Teorema 4.2.2 (Mercer) Sia k una funzione kernel simmetrica defini-
¡¢
dd
tasuunosp aziom etric oc omp a ttoLX×Xtale per cui l’operatore
∞
integrale
³´³´
dddd
T: LX×X→LX×X
k22
Z
¡¢
0
T: f (·)=k·,zf (z)dµ(z)
k
d
X
sia positivo, cioè
Z
¡¢
0
kx,zf (x)f (z)dµ(x)dµ(z)≥ 0
dd
X×X
¡¢¡¢
dd
∀f∈LX.Siaψ∈LXl’autofunzione diTassociata all’autovalore
22
jk
°°
°°
λ6=0enormalizzatoinmodocheψ=1 . Allora:
j
j
L
2
1. {λ(T)}∈`,
jk1
¡¢°°
d
°°
2.ψ∈LXe supψ<∞,
∞
jj
L
∞
j
P
0
3. k(x,z)=λψ(x)ψ(z).
j
jj
j∈N
10
Cristianini, Shawe-Taylor [8] pag. 32-33.
11
Smola [23] pag. 38. Cristianini, Shawe-Taylor [8] pag.35.

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Informazioni tesi

  Autore: Stefano Ricci
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 1999-00
  Università: Università degli Studi di Pavia
  Facoltà: Economia
  Corso: Economia e Commercio
  Relatore: Carlo Giannini
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 147

FAQ

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Parole chiave

econometria
finanza
forecasting
futures
reti neurali
support vector machines
kernel regression
teoria dell'apprendimento statistico

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