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Support Vector Machines e apprendimento statistico per l'analisi non parametrica della regressione: nuovi sviluppi teorici, software e applicazioni finanziarie

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44Capitolo 4. Support Vector Machines
esso (sottostima) ed il valore del moltiplicatore di Lagrange ˆαè zero
i
∗
mentre quello di ˆαpuò essere positivo.
i
∗∗∗
ˆ
¯
y−Xˆ w−b−ε−ξ=0,ξ≥0=⇒ ˆα≥ 0
ii
iii
¯ˆ
Xˆ w+b−y−ε< 0,ξ=0 =⇒ ˆα=0
iii
i
Solo quei vettori di dati che generano una stima sul margine o all’esterno
∗
dell’ε-tubo possono quindi avere associati moltiplicatori di Lagrangeαo
i
αdiversi da zero. Tali vettori sono chiamati vettori di supporto (support
i
vectors) e, come vedremo in seguito, la costruzione dell’algoritmo SVM è
∗
basata solamente su di essi. I vettori associati a moltiplicatori ˆα=ˆα=0
i
i
sono invece irrilevanti nella costruzione del processo di apprendimento. Non
∗
può mai comunque accadere cheα6=0eα6=0 , poiché una stima non può
i
i
ovviamente stare contemporaneamente al di sopra ed al di sotto dell’ε-tubo.
Prendiamo una stima che cade esattamente su un margine dell’ε-tubo,
ad esempio quello superiore. Considerando lo scarto (4.1.4), le condizioni di
KKT (4.1.12) e (4.1.14) e la terza fra le condizioni (4.1.8), si ricava che
¯ˆ
Xˆ w +b−y−ε=0,ξ=0 =⇒ ˆα≥ 0, ˆγ≥ 0
iii
ii
CC
ˆα=− ˆγ=⇒ ˆα≤
ii
i
nn
Per una stima che cade invece oltre un margine dell’ε-tubo, ad esempio
quello superiore, otteniamo
¯ˆ
Xˆ w+b−y−ε−ξ=0,ξ>0=⇒ ˆα≥ 0, ˆγ=0
iii
iii
CC
ˆα=− ˆγ=⇒ ˆα=
ii
i
nn
Con la stessa procedura è possibile ricavare risultati analoghi per il margine
inferiore dell’ε-tubo.
Di conseguenza, i vettori di dati che generano stime all’interno dell’ε-
∗
tubo avranno associati moltiplicatori ˆα=ˆα=0 , quelli che generano stime
i
i
oltre il margine dell’ε-tubo avranno associati un moltiplicatore nullo ed un
(∗)
C
moltiplicatore ˆα=, quelli che generano stime esattamente sul margine
in
avranno associati un moltiplicatore nullo ed uno che può assumere valori
(∗)
C
0≤ ˆα≤.
i
n
Per i problemi di regressione SVM la percentuale di vettori di sup-
porto viene regolata dal valore diε all’interno della funzione di perdita
ε-insensitive. Infatti, all’aumentare diε aumenterà l’ampiezza dell’ε-tubo
ed un numero sempre maggiore di stime cadrà al suo interno, dove il rischio
empiricoèazzerato. Questocorrispondealcaso1precedentementeillustrato
e quindi comporterà una riduzione della percentuale di vettori di supporto
rispetto all’ampiezza campionaria.
A causa della presenza dei vettori di supporto, il problema di ottimo
SVM si definisce sparso. Solo una parte del campione rappresentato dalle

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Informazioni tesi

  Autore: Stefano Ricci
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 1999-00
  Università: Università degli Studi di Pavia
  Facoltà: Economia
  Corso: Economia e Commercio
  Relatore: Carlo Giannini
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 147

FAQ

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Parole chiave

econometria
finanza
forecasting
futures
reti neurali
support vector machines
kernel regression
teoria dell'apprendimento statistico

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