Tecniche di trattamento del selection bias in campioni censurati

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infatti, si basano sui campioni e coinvolgono variabili osservabili anziché parametri non osservabili e vengono 
utilizzate per definire le distribuzioni a priori; inoltre non sono specifiche per un particolare modello, quindi si può 
considerare uno stesso insieme di predictive al variare del modello scelto per descrivere il processo generatore 
dei dati o della a priori. Dato come prima il vettore di osservazioni Y = y 1,...,y n( ), la distribuzione 
campionaria f(y|θ) è nota con θ vettore dei parametri; l'inferenza classica si fonda su f(y|θ) vista come 
distribuzione campionaria di y con θ fissato oppure come funzione di verosimiglianza di θ per valori fissati di y. 
Nel processo inferenziale bayesiano su θ f(y|θ) è la verosimiglianza ed è un input per l'inferenza insieme con la 
distribuzione a priori g(θ); per applicare il teorema di Bayes è necessario conoscere queste due distribuzioni e, 
mentre la verosimiglianza, di solito, è nota, così non è per la a priori, soprattutto quando la dimensione dello 
spazio dei parametri è elevata o i parametri non si possono supporre indipendenti a priori. 
 Sia t
i
= t
i1
,...,t
ip( ) un generico vettore di statistiche di cui si vuole conoscere la distribuzione. Per i 
Bayesiani tale distribuzione, che è marginale rispetto a θ, è la predictive h t
i
( ) che è in relazione con la a priori e 
con la verosimiglianza come segue: 
h t
i
( )= f t
i
q( )
Θ
∫ g q( )dq  
La distribuzione predictive è quindi una media pesata delle distribuzioni campionarie f t
i
q( ) con g(θ) che è la 
funzione peso. Ora, dato che sia h t
i
( ) che f t
i
q( ) sono note, l'unico elemento incognito è la a priori; il 
problema però non è più cercare una funzione alla cieca, quanto piuttosto trovare quella che rende il valore 
dell'integrale il più possibile vicino alla predictive stimata. La scelta è certamente non facile e si complica se 
l'ambito preso in considerazione è molto ampio, perciò è consigliabile porre dei vincoli restrittivi come, per 
esempio, scegliere g che appartenga alla famiglia delle distribuzioni coniugate (come detto precedentemente) al 
modello che descrive il processo generatore dei dati. 
 
 
2.2.2 - Verosimiglianza nel caso di dati mancanti 
 
 Quando non tutte le unità presentano un valore della variabile in esame si prevede l'insieme completo delle 
misure sempre tramite la formula di Bayes come segue:  
 
f Y X( )= f Y q( )
f X q( )f q( )
f X q( )f q( )dq
Θ
∫Θ
∫ dq = f Y q( )f q X( )
Θ
∫