Tecniche di trattamento del selection bias in campioni censurati

 18
g
i+1 q( ) =
1
m p q z j ,Y( )j=1
m
∑ . 
 
Data la valutazione corrente sulla posteriori, g
i
q( )( ), si applica il metodo di composizione alla predictive 
identity per ottenere un campione di dati latenti. 
 a1 - generaq ∗ da g
i
q( ). 
 a2 - genera z da p Z q ∗ , Y( ), dove q
∗
 è il valore generato in a1. 
I due punti sono ripetuti m volte fino ad ottenere z 1,...,z m , note come "imputazioni multiple". Il daa consiste 
nell'iterazione dei due passi -a - e -b-. 
Due problemi importanti sono il controllo della convergenza dell'algoritmo e il calcolo del numero ottimo (m) delle 
imputazioni. In generale si può fermare l'algoritmo in qualunque punto e realizzare un campione da p(θ/Y) invece 
che da g(θ), pesando i valori campionari con pesi w
j
 proporzionali a
p q
j
Y( )
g
i
q
j
( )
. 
Ci sono più strumenti per la valutazione della convergenza (si ricorda l'analisi grafica di percentili selezionati o 
della distribuzione a posteriori stimata). Si descrivono qui i tre metodi basati sulla distribuzione dei pesi w
j
 visti 
prima: 
-primo - data l'approssimazione corrente alla posteriori g, se la stima corrente della distribuzione a posteriori è 
buona, la distribuzione dei w
j
 sarà degenere su una costante (pari a 1/m se i pesi sono normalizzati con 
 w
j
=1); 
-secondo - si può costruire una serie di diagrammi che rappresentano la distribuzione dei pesi a una data 
iterazione; 
-terzo - si può calcolare un parametro che descrive la distribuzione dei pesi (per es. la deviazione standard) e 
analizzare il suo andamento al crescere delle iterazioni, quando tale parametro comincia a fluttuare attorno a un 
certo valore si può decidere di aumentare m o di terminare l'algoritmo in funzione del grado di precisione 
richiesto. 
 Per precisione sembra utile descrivere brevemente il metodo della composizione su cui si basa l'algoritmo 
daa: 
sia f(y/x) una densità dove x e y possono essere vettori, il metodo permette di ottenere un campione 
y 1 ,...,y m ≈
iid
J y( ) = f y x( )∫ g x( )dx  e si sviluppa come segue: 
a) si estrae x*~g(x) 
b) si estrae y*~f(y/x*)